Question

【題目】如圖，四面體中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，是直角三角形，，.

（1）證明：平面平面；

（2）若過(guò)的平面交的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)題意得≌，進(jìn)而得，取的中點(diǎn)，連接，.易得和，從而得平面，即可得到平面平面.

（2）根據(jù)（1）可建立空間直接坐標(biāo)系，用空間向量求二面角的余弦值即可.

解：（1）由題設(shè)易知：≌，從而

又是直角三角形，所以且

取的中點(diǎn)，連接，，則且，

又由于是正三角形，故且

又.

又因?yàn)?/span>，平面，

平面，又平面

所以平面平面；.

（2）由題設(shè)及（1）知，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

故

設(shè)是平面DAE的法向量，則即，

可取.

設(shè)是平面AEC的法向量，則即，可取.

則，

因?yàn)槎�面�?/span>的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.