Question

已知x，y，z滿足x-1=

y+1

2

=

z-2

3

，試求當(dāng)x，y，z分別為何值時，x²+y²+z²有最小值，最小值為多少．

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)x-1=

y+1

2

=

z-2

3

=k，則有x²+y²+z²=2（2k²+5k+3），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得x²+y²+z² 最小值，以及此時x，y，z的值．

解答： 解：∵x，y，z滿足x-1=

y+1

2

=

z-2

3

，設(shè)x-1=

y+1

2

=

z-2

3

=k，
則有 x=k+1、y=2k-1、z=3k+2，
∴x²+y²+z²=（k+1）²+（2k-1）²+（3k+2）²=2（2k²+5k+3），
故當(dāng)k=-

5

4

，即 x=-

1

4

、y=-

7

2

、z=-

7

4

時，x²+y²+z²取得最小值為-

1

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，用同一個變量k表示出x，y，z，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．