Question

【題目】已知圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，取相同單位長度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．
（1）直線l過原點(diǎn)，且它的傾斜角α= ，求l與圓E的交點(diǎn)A的極坐標(biāo)（點(diǎn)A不是坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（2）直線m過線段OA中點(diǎn)M，且直線m交圓E于B、C兩點(diǎn)，求||MB|﹣|MC||的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線l的傾斜角α= ，

∴直線l的極角θ= ，或θ= ．代入圓E的極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ

可得： 或ρ=﹣2 （舍去）．

∴l(xiāng)與圓E的交點(diǎn)A的極坐標(biāo)為

（2）解：由（1）可得：線段OA的中點(diǎn)M ，可得直角坐標(biāo)M（﹣1，1）．

又圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐標(biāo)方程：x2+y2﹣4y=0，

設(shè)直線l的參數(shù)方向?yàn)椋? （t為參數(shù)），

代入圓的方程可得：t2﹣2t（sinα+cosα）﹣2=0，△＞0，

∴t1+t2=2（sinα+cosα），t1t2=﹣2．

∴||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|=2|sinα+cosα|=2 | |，

∴||MB|﹣|MC||的最大值為2

【解析】（1）由直線l的傾斜角α= ，可得直線l的極角θ= ，或θ= ．代入圓E的極坐標(biāo)方程即可得出．（2）由（1）可得：線段OA的中點(diǎn)M ，可得直角坐標(biāo)M．又圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2 ， y=ρsinθ代入可得直角坐標(biāo)方程，設(shè)直線l的參數(shù)方向?yàn)椋? （t為參數(shù)），代入圓的方程可得關(guān)于t的一元二次方程，利用||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|即可得出．