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【題目】在平面直角坐標系中，已知圓過坐標原點且圓心在曲線 上．

（1）若圓分別與軸、軸交于點（不同于原點），求證：的面積為定值；

（2）設直線與圓交于不同的兩點，且，求圓的方程；

（3）點在直線上，過點引圓（題（2））的兩條切線，切點為，求證：直線恒過定點.

【答案】（1）證明見詳解

（2）

（3）證明見詳解

【解析】

（1）設出圓的圓心，寫出圓的標準方程，求出兩點，再計算的面積。

（2）由題意知為的中垂線，即可得到直線，即可求出圓心。

（3）設出點，寫出以點為圓心切線長為半徑的圓的方程，利用圓-圓,即可求出直線的方程，再說明其過定點。

（1）證明：設圓的圓心為，則半徑 ，

所以圓的標準方程為，

則、，

所以的面積

所以的面積為定值。

（2）因為，即O在線段的中垂線上，又圓心在線段的中垂線上，

所以為的中垂線，又

所以，直線為，聯立解得，舍

所以，

即圓的標準方程為

（3）證明：設點,則圓心到點的距離

切線長 ，

即以點為圓心，切線長為半徑的圓為

則圓與圓的相交弦直線為

化簡得

即過定點

練習冊系列答案
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（參考數據： ）

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