【題目】已知 =(sinx,cosx), =(sinx,k), =(﹣2cosx,sinx﹣k).
(1)當(dāng)x∈[0, ]時(shí),求| + |的取值范圍;
(2)若g(x)=( + ) ,求當(dāng)k為何值時(shí),g(x)的最小值為﹣ .
【答案】
(1)解: =(sinx﹣2cosx,sinx),
| |2=(sinx﹣2cosx,sinx)2
=2sin2x﹣4sinxcosx+4cos2x
=2cos2x﹣4sinxcosx+2
=cos2x﹣2sin2x+3
= cos(2x+φ)+3,其中,tanφ=2,
又∵x∈[0, ],
∴ ,
∴ 在 上單調(diào)遞減,
∴| cos(2x+φ)|2∈[1,4],
∴| + |∈[1,2].
(2)解: =(2sinx,cosx+k),
g(x)=( )
=﹣4sinxcosx+(cosx+k)(sinx﹣k)
=﹣3sinxcosx+k(sinx﹣cosx)﹣k2
令t=sinx﹣cosx= sin(x﹣ ),
則t∈[﹣ , ],且t2=sin2x+cos2x﹣2sinxcosx=1﹣2sinxcosx,
所以 .
所以g(x)可化為 ,
對(duì)稱軸 .
①當(dāng) ,即 時(shí), ,
由 ,得 ,
所以 .
因?yàn)? ,
所以此時(shí)無解.
②當(dāng) ,即 時(shí), .
由﹣ ﹣ =﹣ ,得k=0∈[﹣3 ,3 ].
③當(dāng)﹣ ,即k<﹣3 時(shí),
g(x)min=h( )=﹣k2+ k+ ,
由﹣k2+ k+ =﹣ ,得k2﹣ k﹣3=0,
所以k= .
因?yàn)閗 ,所以此時(shí)無解.
綜上所述,當(dāng)k=0時(shí),g(x)的最小值為﹣ .
【解析】(1)由已知利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得 =(sinx﹣2cosx,sinx),利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得| |2= cos(2x+φ)+3,其中,tanφ=2,又x∈[0, ],可求 ,利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解| + |的取值范圍;(2)利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得g(x)=﹣3sinxcosx+k(sinx﹣cosx)﹣k2 , 令t=sinx﹣cosx= sin(x﹣ ),則g(x)可化為 ,對(duì)稱軸 .利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論即可得解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2016年10月,繼微信支付對(duì)提現(xiàn)轉(zhuǎn)賬收費(fèi)后,支付寶也開始對(duì)提現(xiàn)轉(zhuǎn)賬收費(fèi),隨著這兩大目前用戶使用粘度最高的第三方支付開始收費(fèi),業(yè)內(nèi)人士分析,部分對(duì)價(jià)格敏感的用戶或?qū)⒒亓髦羵鹘y(tǒng)銀行體系,某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)此進(jìn)行調(diào)查,并從參與調(diào)查的數(shù)萬名支付寶用戶中隨機(jī)選取200人,把這200人分為3類:認(rèn)為使用支付寶方便,仍使用支付寶提現(xiàn)轉(zhuǎn)賬的用戶稱為“類用戶”;根據(jù)提現(xiàn)轉(zhuǎn)賬的多少確定是否使用支付寶的用戶稱為“類用戶”;提前將支付寶賬戶內(nèi)的資金全部提現(xiàn),以后轉(zhuǎn)賬全部通過銀行的用戶稱為“類用戶”,各類用戶的人數(shù)如圖所示:
同時(shí)把這200人按年齡分為青年人組與中老年人組,制成如圖所示的列聯(lián)表:
類用戶 | 非類用戶 | 合計(jì) | |
青年 | 20 | ||
中老年 | 40 | ||
合計(jì) | 200 |
(Ⅰ)完成列聯(lián)表并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為“類用戶與年齡有關(guān)”;
(Ⅱ)從這200人中按類用戶、類用戶、類用戶進(jìn)行分層抽樣,從中抽取10人,再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人,求在這4人中類用戶、類用戶、類用戶均存在的概率;
(Ⅲ)把頻率作為概率,從支付寶所有用戶(人數(shù)很多)中隨機(jī)抽取3人,用表示所選3人中類用戶的人數(shù),求的分布列與期望.
附:
0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】生產(chǎn)甲乙兩種元件,其質(zhì)量按檢測(cè)指標(biāo)劃分為:指標(biāo)大于或者等于82為正品,小于82為次品,現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各100件進(jìn)行檢測(cè),檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
測(cè)試指標(biāo) | |||||
元件甲 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
元件乙 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
(1)試分別估計(jì)元件甲、乙為正品的概率;
(2)生產(chǎn)一件元件甲,若是正品可盈利40元,若是次品則虧損5元,生產(chǎn)一件元件乙,若是正品可盈利50元,若是次品則虧損10元.在(1)的前提下:
(i)記為生產(chǎn)1件甲和1件乙所得的總利潤(rùn),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(ii)求生產(chǎn)5件元件乙所獲得的利潤(rùn)不少于140元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)= x3﹣ ax2+(a﹣1)x+1在區(qū)間(2,3)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(5,+∞)為增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[3,4]
B.[5,7]
C.[4,6]
D.[7,8]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知右焦點(diǎn)為的橢圓關(guān)于直線對(duì)稱的圖形過坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.證明:直線與軸的交點(diǎn)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從2 012名學(xué)生中選取50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,若采用下面的方法選。合扔煤(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從2 012人中剔除12人,剩下的2 000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取50人,則在2 012人中,每人入選的概率( )
A.不全相等
B.均不相等
C.都相等,且為
D.都相等,且為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此作了四次試驗(yàn),得到的數(shù)據(jù)如下:
零件的個(gè)數(shù)x(個(gè)) | 2 | 3 | 4 | 5 |
加工的時(shí)間y(小時(shí)) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程 = x+ ,并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線;
(3)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間? 參考公式:回歸直線 =bx+a,其中b= = ,a= ﹣b .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:方程x2﹣4x+m=0有實(shí)根,命題q:﹣1≤m≤5.若p∧q為假命題,p∨q為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)f(x)=ax2+2a是區(qū)間[﹣a,a2]上的偶函數(shù),又g(x)=f(x﹣1),則g(0),g( ),g(3)的大小關(guān)系是( )
A.g( )<g(0)<g(3)
B.g(0)<g( )<g(3)??
C.g( )<g(3)<g(0)
D.g(3)<g( )<g(0)
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