Question

已知橢圓C：

x2

m2

+y²=1（常數(shù)m＞1），點P是C上的動點，M是右頂點，定點A的坐標(biāo)為（2，0）．
（1）若M與A重合，求C的焦點坐標(biāo)；
（2）若m=3，求|PA|的最大值與最小值；
（3）若|PA|的最小值為|MA|，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)題意，若M與A重合，即橢圓的右頂點的坐標(biāo)為（2，0），可得a，即可求出C的焦點坐標(biāo)；
（2）若m=3，則橢圓的方程為

x2

9

+y²=1，變形可得y²=1-

x2

9

，代入，利用配方法求|PA|的最大值與最小值；
（3）當(dāng)x=m時，|PA|_^取得最小值，且

m2-1

m2

＞0，則

2m2

m2-1

≥m，且m＞1，即可求m的取值范圍．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，若M與A重合，即橢圓的右頂點的坐標(biāo)為（2，0）；
則a=2；橢圓的焦點在x軸上，則c=

3

；
則橢圓焦點的坐標(biāo)為（

3

，0），（-

3

，0）；
（2）若m=3，則橢圓的方程為

x2

9

+y²=1，變形可得y²=1-

x2

9

，
|PA|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+y²=

8x2

9

-4x+5；
又由-3≤x≤3，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分析可得，
x=-3時，|PA|²=

8x2

9

-4x+5取得最大值，且最大值為25；
x=

9

4

時，|PA|²=

8x2

9

-4x+5取得最小值，且最小值為

1

2

；
則|PA|的最大值為5，|PA|^_的最小值為

2

2

；
（3）設(shè)動點P（x，y），
則|PA|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+y²=

m2-1

m2

（x-

2m2

m2-1

）²+

4m2

m2-1

+5，且-m≤x≤m；
當(dāng)x=m時，|PA|_^取得最小值，且

m2-1

m2

＞0，
則

2m2

m2-1

≥m，且m＞1；
解得1＜m≤1+

2

．

點評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．