【題目】已知復(fù)數(shù)z1=m+ni(m,n∈R),z=x+yi(x,y∈R),z2=2+4i且
(1)若復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M(m,n)在曲線 上運(yùn)動(dòng),求復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程;
(2)將(1)中的軌跡上每一點(diǎn)按向量 方向平移 個(gè)單位,得到新的軌跡C,求C的軌跡方程;
(3)過軌跡C上任意一點(diǎn)A(異于頂點(diǎn))作其切線,交y軸于點(diǎn)B,求證:以線段AB為直徑的圓恒過一定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】
(1)解:∵ i﹣z2=(m﹣ni)i﹣(2+4i)=(n﹣2)+(m﹣4)i;

∵復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M(m,n)在曲線 上運(yùn)動(dòng)

∴x+2=﹣ (y+7)2﹣1(y+7)2=﹣2(x+3).

復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程:(y+7)2=﹣2(x+3)


(2)解:∵按向量 方向平移 個(gè)單位, = =1×

即為向 x 方向移動(dòng) 1× = 個(gè)單位,向 y 方向移動(dòng) 1×1=1 個(gè)單位

(y+7)2=﹣2(x+3)y+7=±

得軌跡方程 y+7=± (y+6)2=﹣2(x+ )=﹣2x﹣3.

C的軌跡方程為:(y+6)2=﹣2x﹣3


(3)解:設(shè)A(x0,y0),斜率為k,切線y﹣y0=k(x﹣x0) (k≠0),

代入(y+6)2=﹣2x﹣3整理得:

(y+6)2=﹣2( )﹣3,△=0k= ,

設(shè)定點(diǎn)M(1,0),且

∴以線段AB為直徑的圓恒過一定點(diǎn)M,M點(diǎn)的坐標(biāo)(1,0)


【解析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)條件求出關(guān)系式 ,結(jié)合復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M(m,n)在曲線 上運(yùn)動(dòng)即可得出復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程;(2)先按向量 方向平移 個(gè)單位得到即為向 x 方向移動(dòng) 1× = 個(gè)單位,向 y 方向移動(dòng) 1×1=1 個(gè)單位,再進(jìn)行函數(shù)式的變換即可得出C的軌跡方程;(3)設(shè)A(x0 , y0),斜率為k,切線y﹣y0=k(x﹣x0) 代入(y+6)2=﹣2x﹣3消去x得到關(guān)于y的一元二次方程,再結(jié)合根的判別式為0利用向量的數(shù)量即可求得定點(diǎn),從而解決問題.

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A.16
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C.25
D.

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(1)命題“若 ,則tanα=1”的逆否命題為假命題;
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(3)“ ”是“函數(shù)y=sin(2x+)為偶函數(shù)”的充要條件;
(4)命題p:“x0∈R,使 ”;命題q:“若sinα>sinβ,則α>β”,那么(¬p)∧q為真命題.
其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4

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A.(﹣2,2)
B.(﹣∞,﹣2)
C.(﹣2,+∞)
D.(﹣∞,+∞)

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