Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

2

3

，a_n+1=

2an

an+1

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{

1

an

-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列 {

n

an

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a_n+1=

2an

an+1

，可得

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，即可證明數(shù)列{

1

an

-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）分組，再利用錯(cuò)位相減法，即可求出數(shù)列{

n

an

}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （Ⅰ）證明：∵an+1=

2an

an+1

，∴

1

an+1

=

an+1

2an

=

1

2

+

1

2

•

1

an

，
∴

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，
又a1=

2

3

，∴

1

a1

-1=

1

2

，
∴數(shù)列{

1

an

-1}是以為

1

2

首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知

1

an

-1=

1

2n

，即

1

an

=

1

2n

+1，
∴

n

an

=

n

2n

+n．
設(shè)Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，①
則

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，②
由①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴Tn=2-

1

2n-1

-

n

2n

．
又1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∴數(shù)列{

n

an

}的前n項(xiàng)和Sn=2-

2+n

2n

+

n(n+1)

2

=

n2+n+4

2

=

n+2

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列求和，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．