已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O,點(diǎn)F2(1,0)是它的一個(gè)焦點(diǎn),直線l過點(diǎn)F2與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),△OAB的面積S△OAB=
2
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)P在橢圓C上,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.
分析:(I)設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),依題意知c=1,當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),A(c,y0),代入橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1可求得a2=2b4,從而可求橢圓C的方程;
(Ⅱ)依題意,利用橢圓的定義與余弦定理可求得|PF1|•|PF2|=
4
3
,再利用正弦定理即可求得△F1PF2的面積.
解答:解:(I)設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),
∵它的一個(gè)焦點(diǎn)F2(1,0),即c=1,
∴a2-b2=c2=1①
當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),A(c,y0),代入橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1得:y02=b2(1-
c2
a2
)=
b4
a2
,
∴S△OAB=
1
2
|OF2|•|AB|=
1
2
×1×2|y0|=
b2
a
=
2
2
,
∴a2=2b4,②
由①②解得a2=2,b2=1,
故橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1.
(Ⅱ)依題意,作圖如圖:
∵|PF1|+|PF2|=2a=2
2
,|F1F2|=2c=2,∠F1PF2=60°,
∴由余弦定理得:|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2
=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|•|PF2|-2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2
=(2
2
)
2
-2|PF1|•|PF2|-2|PF1|•|PF2|cos60°
=8-3|PF1|•|PF2|
=4,
∴|PF1|•|PF2|=
4
3

∴△F1PF2的面積S=
1
2
|PF1|•|PF2|sin60°
=
1
2
×
4
3
×
3
2

=
3
3
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的性質(zhì)與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查橢圓的定義與余弦定理.正弦定理的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.
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(2013•深圳一模)已知橢圓C 的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x 軸上,離心率為
3
2
,且點(diǎn)(1,
3
2
)
在該橢圓上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,橢圓C 的長(zhǎng)軸為AB,設(shè) P 是橢圓上異于 A、B 的任意一點(diǎn),PH⊥x軸,H為垂足,點(diǎn)Q 滿足
PQ
=
HP
,直線AQ與過點(diǎn)B 且垂直于x 軸的直線交于點(diǎn)M,
BM
=4
BN
.求證:∠OQN為銳角.

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已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O,點(diǎn)F(1,0)是它的一個(gè)焦點(diǎn),直線l過點(diǎn)F與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),
OA
OB
=
1
2

(I)求橢圓C的方程;
(II)已知點(diǎn)P為橢圓的上頂點(diǎn),且存在實(shí)數(shù)t使
PA
+
PB
=t
PF
成立,求實(shí)數(shù)t的值和直線l的方程.

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已知橢圓C 的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x 軸上,離心率為,且點(diǎn)在該橢圓上.
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(I)求橢圓C的方程;
(II)已知點(diǎn)P為橢圓的上頂點(diǎn),且存在實(shí)數(shù)t使成立,求實(shí)數(shù)t的值和直線l的方程.

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