已知橢圓C 的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x 軸上,離心率為,且點(diǎn)在該橢圓上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,橢圓C 的長軸為AB,設(shè) P 是橢圓上異于 A、B 的任意一點(diǎn),PH⊥x軸,H為垂足,點(diǎn)Q 滿足,直線AQ與過點(diǎn)B 且垂直于x 軸的直線交于點(diǎn)M,.求證:∠OQN為銳角.

【答案】分析:(1)利用橢圓的離心率,及點(diǎn)在該橢圓上滿足橢圓的方程與a2=b2+c2即可求出;
(2)設(shè)P(x,y)(-2<x<2),由A(-2,0),PQ=HP,得到Q(x,2y),進(jìn)而得到直線AQ的方程為.令x=4即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo);再根據(jù)向量共線即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo),只要證明且三點(diǎn)O,Q,N不共線即可得到∠OQN為銳角.
解答:解:(1)設(shè)橢圓C的方程為,
由題意可得 
又a2=b2+c2,∴4b2=a2
∵橢圓C經(jīng)過,代入橢圓方程有   ,
解得b2=1.∴a2=4,
故橢圓C的方程為  
(2)設(shè)P(x,y)(-2<x<2),
∵A(-2,0),
∵PQ=HP,∴Q(x,2y),
∴直線AQ的方程為.   
令x=2,得
∵B(2,0),,

,




∵-2<x<2,

又O、Q、N不在同一條直線,
∴∠OQN為銳角.
點(diǎn)評:本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、向量相等于共線及夾角等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個頂點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離分別是7和1
(1)求橢圓C的方程;
(2)若P為橢圓C的動點(diǎn),M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn),
OP|OM|
=e
,e為橢圓C的離心率,求點(diǎn)M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.

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已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,一個長軸端點(diǎn)為(0,1),短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形,若直線l與y軸交于點(diǎn)P(0,m),與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且
AP
=3
PB

(Ⅰ)求橢圓C的離心率及其標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個頂點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離分別是7和1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若P為橢圓C上的動點(diǎn),M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn),
|OP||OM|
=λ,求點(diǎn)M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•深圳一模)已知橢圓C 的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x 軸上,離心率為
3
2
,且點(diǎn)(1,
3
2
)
在該橢圓上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,橢圓C 的長軸為AB,設(shè) P 是橢圓上異于 A、B 的任意一點(diǎn),PH⊥x軸,H為垂足,點(diǎn)Q 滿足
PQ
=
HP
,直線AQ與過點(diǎn)B 且垂直于x 軸的直線交于點(diǎn)M,
BM
=4
BN
.求證:∠OQN為銳角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,一個長軸端點(diǎn)為(0,2),短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形,直線l與y軸交于點(diǎn)P(0,m),與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B,且
AP
=2
PB

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)求m的取值范圍.

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