（2013•深圳一模）已知橢圓C 的中心為原點O，焦點在x 軸上，離心率為
3
2
，且點(1，
3
2
)在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，橢圓C 的長軸為AB，設(shè) P 是橢圓上異于 A、B 的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，點Q 滿足
PQ
=
HP
，直線AQ與過點B 且垂直于x 軸的直線交于點M，
BM
=4
BN
．求證：∠OQN為銳角．
分析：（1）利用橢圓的離心率e=
c
a
=
3
2
，及點(1，
3
2
)在該橢圓上滿足橢圓的方程與a2=b2+c2即可求出；
（2）設(shè)P（x0，y0）（-2＜x0＜2），由A（-2，0），PQ=HP，得到Q（x0，2y0），進而得到直線AQ的方程為y=
2y0
x0+2
(x+2)．令x=4即可得到點M的坐標；再根據(jù)向量共線
BM
=4
BN
即可得到點N的坐標，只要證明
QO
•
QN
＞0且三點O，Q，N不共線即可得到∠OQN為銳角．
解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)，
由題意可得 e=
c
a
=
3
2
，
又a2=b2+c2，∴4b2=a2．
∵橢圓C經(jīng)過(1，
3
2
)，代入橢圓方程有   
1
4b2
+
3
4
b2
=1，
解得b2=1．∴a2=4，
故橢圓C的方程為  
x2
4
+y2=1．
（2）設(shè)P（x0，y0）（-2＜x0＜2），
∵A（-2，0），
∵PQ=HP，∴Q（x0，2y0），
∴直線AQ的方程為y=
2y0
x0+2
(x+2)．   
令x=2，得M(2，
8y0
x0+2
)．
∵B（2，0），
BM
=4
BN
，
∴N(2，
y0
x0+2
)．
∴
QO
=(-x0，-2y0)，
QN
=(2-x0，
-2y0(1+x0)
x0+2
)．
∴
QO
•
QN
=-x0(2-x0)+(-2y0)•
-2y0(1+x0)
x0+2
=x0(x0-2)+
4y02(1+x0)
x0+2

∵
x02
4
+y02=1，
∴4y02=4-
x
2
0

∴
QO
•
QN
=2-x0．
∵-2＜x0＜2，
∴
QO
•
QN
=2-x0＞0．
又O、Q、N不在同一條直線，
∴∠OQN為銳角．
點評：本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、向量相等于共線及夾角等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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（2013•深圳一模）已知函數(shù)f（x）=ax+x2-xlna-b（a，b∈R，a＞1），e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）當a=e，b=4時，求整數(shù)k的值，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間（k，k+1）上存在零點；
（3）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，試求a的取值范圍．

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（2013•深圳一模）（坐標系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C1的參數(shù)方程為
x=
t
y=t+1.
（t為參數(shù)），曲線C2的極坐標方程為ρsinθ-ρcosθ=3，則C1與C2交點在直角坐標系中的坐標為
（2，5）
（2，5）
．

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（2013•深圳一模）設(shè)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=log3（1+x），則f（-2）=（　�。�

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（2013•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=2sin(
πx
6
+
π
3
)(0≤x≤5)，點A、B分別是函數(shù)y=f（x）圖象上的最高點和最低點．
（1）求點A、B的坐標以及
OA
•
OB
的值；
（2）設(shè)點A、B分別在角α、β的終邊上，求tan（α-2β）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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an+12
an
（其中p為非零常數(shù)，n∈N*）．
（1）判斷數(shù)列{
an+1
an
}是不是等比數(shù)列？
（2）求an；
（3）當a=1時，令bn=
nan+2
an
，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，求Sn．

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