Question

已知橢圓方程為，過右焦點(diǎn)斜率為1的直線到原點(diǎn)的距離為.

(1)求橢圓方程.
(2)已知為橢圓的左右兩個頂點(diǎn)，為橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，為過點(diǎn)且垂直軸的直線，點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，點(diǎn)為以為直徑的圓與直線的一個交點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

試題分析：(1)由過右焦點(diǎn)斜率為1的直線到原點(diǎn)的距離為可以得到右焦點(diǎn)坐標(biāo)，即的值.再由公式可得橢圓方程.此處注意因為是右焦點(diǎn)，即焦點(diǎn)在軸上，從而得到對應(yīng)的分母1即為；（2）由點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，聯(lián)立橢圓方程求出的坐標(biāo).易知直線的方程，所以易求得點(diǎn)坐標(biāo)，由圓的性質(zhì)知，則只要就有直線、重合，即三點(diǎn)共線.因為點(diǎn)的坐標(biāo)已求得，可通過向量數(shù)量積予以證明.注意本題如選擇求點(diǎn)坐標(biāo)則將較為繁瑣，增加了解題的計算量，這里合理利用圓的直徑對應(yīng)的圓周角是直角這一性質(zhì)，簡化了運(yùn)算.
試題解析：（1）設(shè)右焦點(diǎn)為，則過右焦點(diǎn)斜率為1的直線方程為：    1分
則原點(diǎn)到直線的距離                        3分
方程                                                   4分

（2）點(diǎn)坐標(biāo)為                                             5分
設(shè)直線方程為：，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為
得：                    6分
      7分    9分
    10分
由圓的性質(zhì)得：
又點(diǎn)的橫坐標(biāo)為   點(diǎn)的坐標(biāo)為    11分
     11分          13分
即，又三點(diǎn)共線               14分