若原點O和點F（-3，0）分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1（a＞0）的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則
OP
•
FP
的取值范圍為（　�。�
A、[8+6
2
，+∞）
B、[-3，+∞）
C、[-
1
8
，+∞）
D、[
1
8
，+∞）
考點：雙曲線的簡單性質(zhì)
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：先根據(jù)雙曲線的焦點和方程中的b求得a，則雙曲線的方程可得，設出點P，代入雙曲線方程求得縱坐標的表達式，根據(jù)P，F(xiàn)，O的坐標表示
OP
•
FP
，進而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最小值，則可得
OP
•
FP
的取值范圍．
解答： 解：設P（m，n），則
OP
•
FP
=（m，n）•（m+3，n）=m2+3m+n2．
∵F（-3，0）是雙曲線
x2
a2
-y2=1（a＞0）的左焦點，
∴a2+1=9，∴a2=8，
∴雙曲線方程為
x2
8
-y2=1，
∵點P為雙曲線右支上的任意一點，
∴
m2
8
-n2=1(m≥2
2
)，
∴n2=
m2
8
-1，
∵
OP
•
FP
=（m，n）•（m+3，n）=m2+3m+n2，
∴m2+2m+n2=m2+3m+
m2
8
-1=
9
8
m2+3m-1
∵m≥2
2
，
∴函數(shù)在[2
2
，+∞）上單調(diào)遞增，
∴m2+3m+n2≥8+6
2
，
∴
OP
•
FP
的取值范圍為[8+6
2
，+∞）．
故選：A．
點評：本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程，考查平面向量的數(shù)量積的坐標運算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考查了同學們對基礎知識的熟練程度以及知識的綜合應用能力、運算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=4x2-mx+5在（-∞，2）上為增函數(shù)，在[2，60]上為減函數(shù)，則f（1）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），對?x∈R，f′（x）-f（x）＜0，則對任意正數(shù)a有（　�。�
A、
f(a)
ea
＞f（0）
B、
f(a)
ea
＜f（0）
C、eaf（a）＞f（0）
D、eaf（a）＜f（0）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知⊙C：x2+y2=9中弦AB的長為3
2
，則
AB
•
AC
=（　�。�
A、0
B、3
C、9
D、9
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列四個函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)的是（　　）
A、y=lg|x|
B、y=x 
1
2
C、y=-2x
D、y=-
1
x

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知P是△ABC所在的平面內(nèi)一點，AB=4，
PA
+
PB
+
PC
=
0
，
PA
•
PB
=
PB
•
PC
=
PC
•
PA
，若點D、E分別滿足
DC
=-
AC
，
BE
=3
EC
，則
AP
•
DE
=（　�。�
A、8
B、
3
C、-4
3
D、-8

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知m為一條直線，α、β為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（　�。�
A、若m∥α，α⊥β，則m⊥β
B、若m⊥α，α∥β，則m⊥β
C、若m∥α，α∥β，則m∥β
D、若m∥α，m∥β，則α∥β

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若復數(shù)z滿足
z+i
i
=2+i（其中i為虛數(shù)單位），則z的共軛復數(shù)為（　�。�
A、-1-iB、1-i
C、-1+iD、1+i

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

正項數(shù)列{an}滿足：an2-（2n-1）an-2n=0．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式an；
（2）令bn=an•3n，求數(shù)列{bn}的前項和Tn．

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