Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx（a＜0），對于數(shù)列{a_n}，設(shè)它的前n項(xiàng)的和為S_n，且S_n=f（n）（n∈N^*）．
（1）證明數(shù)列{a_n}是遞減的等差數(shù)列；
（2）證明所有的點(diǎn)M_k（k，

Sk

k

）（k∈N^*）在同一直線l₁上．

Answer 1

分析：（1）由“f（x）=ax²+bx（a＜0），S_n=f（n）”，可得到S_n=f（n）=an²+bn，再由通項(xiàng)和前n項(xiàng)和間的關(guān)系求得其通項(xiàng)公式，再判斷是否為遞減的等差數(shù)列．
（2）由（1）可得S_k=ak²+bk，從而有

sk

k

=ak+b可知點(diǎn)M_k（k，

Sk

k

）（k∈N^*）在同一直線y=ax+b上．

解答：解：（1）根據(jù)題意：S_n=f（n）=an²+bn（a＜0），
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a+b（a＜0），
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=2an-a+b
綜上：a_n=2an-a+b
又∵a＜0
∴數(shù)列{a_n}是遞減的等差數(shù)列
（2）∵S_k=ak²+bk
∴

sk

k

=ak+b
∴點(diǎn)M_k（k，

Sk

k

）（k∈N^*）在同一直線y=ax+b上；

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運(yùn)用，主要涉及了數(shù)列的定義，通項(xiàng)，前n項(xiàng)和及其關(guān)系，還考查了等差數(shù)列的幾何意義，所有項(xiàng)在同一條直線上．