Question

16．（1）已知f（2x+1）=$\frac{4x+1}{2x-1}$，求f（x）表達式和值域；
（2）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)換元法求出函數(shù)的表達式，從而求出函數(shù)的值域即可；
（2）由題意設(shè)f（x）=ax+b，利用f（x）滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，利用恒等式的對應(yīng)項系數(shù)相等即可得出．

解答 解：（1）令2x+1=t，則x=$\frac{t-1}{2}$，
∴f（t）=$\frac{2（t-1）+1}{t-1-1}$=$\frac{2t-1}{t-2}$，（t≠2），
∴f（x）=$\frac{2x-1}{x-2}$，（x≠2），
而f（x）=$\frac{2x-1}{x-2}$=2+$\frac{3}{x-2}$，
∵y=$\frac{3}{x-2}$的值域為（-∞，0）∪（0，+∞）；
∴函數(shù)f（x）的值域是（-∞，2）∪（2，+∞）；
（2）由題意設(shè)f（x）=ax+b，（a≠0）．
∵f（x）滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，
∴3[a（x+1）+b]-2[a（x-1）+b]=2x+17，
化為ax+（5a+b）=2x+17，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{5a+b=17}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴f（x）=2x+7．

點評 本題考查了求函數(shù)的解析式和恒等式的性質(zhì)，是一道中檔題．