Question

4．非零向量 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為120°，且|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的取值范圍為（　�。�

• A． [1，$\sqrt{3}$]
• B． [2，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$]
• C． [$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，4）
• D． [1，2]

Answer 1

分析 由向量的知識(shí)和基本不等式可得|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|的范圍，而|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+4}$，由不等式的性質(zhì)可得．

解答 解：∵非零向量 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角θ=120°，且|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²=4，∴|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4，
∴|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|=4，
∴4-|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²≥2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|，
∴0＜|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|≤$\frac{4}{3}$，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$
=$\sqrt{{2}^{2}+4×|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|×（-\frac{1}{2}）}$
=$\sqrt{-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+4}$∈[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，4）
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)量積和向量的夾角，涉及不等式的性質(zhì)，屬中檔題．