【題目】已知長度為的線段的兩個(gè)端點(diǎn)、分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)且斜率不為零的直線與曲線交于兩點(diǎn)、，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為常數(shù).若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)以及此常數(shù)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）.（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）設(shè)，，，由，可得由，所以代入即可求得橢圓方程；
（2）由題意設(shè)直線的方程為：，，，

將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式求得則

，因此存在兩個(gè)定點(diǎn)，，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，使得與的斜率之積為常數(shù)．
試題解析：（1）設(shè)，，，

由于，所以 ，

即，所以，

又，所以，從而.

即曲線的方程為：.

（2）由題意設(shè)直線的方程為：，，，

由得：，

所以.

故 ，

，

假設(shè)存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，則

.

當(dāng)，且時(shí)，為常數(shù)，解得.

顯然當(dāng)時(shí)，常數(shù)為；當(dāng)時(shí)，常數(shù)為，

所以存在兩個(gè)定點(diǎn)，，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，當(dāng)定點(diǎn)為時(shí)，常數(shù)為；當(dāng)定點(diǎn)為時(shí)，常數(shù)為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足a3＝2，前3項(xiàng)和為S3＝.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

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①平面，且的長度為定值；

②三棱錐的最大體積為；

③在翻折過程中，存在某個(gè)位置，使得.

其中正確命題的序號為__________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

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【題目】某地發(fā)生地質(zhì)災(zāi)害，使當(dāng)?shù)氐淖詠硭艿搅宋廴荆巢块T對水質(zhì)檢測后，決定往水中投放一種藥劑來凈化水質(zhì)．已知每投放質(zhì)量為m的藥劑后，經(jīng)過x天該藥劑在水中釋放的濃度y（毫克/升）滿足，其中，當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）時(shí)稱為有效凈化；當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）時(shí)稱為最佳凈化．

（1）如果投放的藥劑質(zhì)量為m=4，試問自來水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天？

（2）如果投放的藥劑質(zhì)量為m，為了使在7天（從投放藥劑算起包括7天）之內(nèi)的自來水達(dá)到最佳凈化，試確定應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量m的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司研發(fā)芯片耗費(fèi)資金2千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn).經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)A芯片的毛收入（平萬元）與投入的資金x（千萬元）成正比，已知每投入1千萬元，獲得毛收入0.25千萬元；生產(chǎn)B芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金x（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式為，其圖像如圖所示.

（1）試分別求出生產(chǎn)A，B兩種芯片的毛收入與投入資金的函數(shù)關(guān)系式.

（2）如果公司只生產(chǎn)一種芯片，生產(chǎn)哪種芯片毛收入更大？

（3）現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入4億元資金同時(shí)生產(chǎn)A，B兩種芯片，設(shè)投入x千萬元生產(chǎn)B芯片，用表示公司所獲利潤，當(dāng)x為多少時(shí)，可以獲得最大利潤？并求最大利潤.（利潤=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研發(fā)耗費(fèi)資金）

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【題目】某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮，這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮覆蓋面積為，三月底測得鳳眼蓮覆蓋面積為，鳳眼蓮覆蓋面積 （單位：）與月份（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇.

（1）試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；

（2）求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入面積倍以上的最小月份.

（參考數(shù)據(jù)，）

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【題目】在古代，直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”,較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.三國時(shí)期吳國數(shù)學(xué)家趙爽用“弦圖”( 如圖) 證明了勾股定理，證明方法敘述為:“按弦圖,又可以勾股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以勾股之差自相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)，亦成弦實(shí).”這里的“實(shí)”可以理解為面積.這個(gè)證明過程體現(xiàn)的是這樣一個(gè)等量關(guān)系:“兩條直角邊的乘積是兩個(gè)全等直角三角形的面積的和(朱實(shí)二 )，4個(gè)全等的直角三角形的面積的和(朱實(shí)四) 加上中間小正方形的面積(黃實(shí)) 等于大正方形的面積(弦實(shí))”. 若弦圖中“弦實(shí)”為16，“朱實(shí)一”為,現(xiàn)隨機(jī)向弦圖內(nèi)投入一粒黃豆(大小忽略不計(jì))，則其落入小正方形內(nèi)的概率為( )

A. B. C. D.

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（1）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，若點(diǎn)到曲線的最小距離為，求的值.

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