Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且 S_n=n²-4n+4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

an

2n

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：

1

4

≤Tn＜1．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求通項(xiàng)公式，然后驗(yàn)證a₁=S₁=1，不符合上式，因此數(shù)列{a_n}是分段數(shù)列；
（2）先寫(xiě)出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，應(yīng)用錯(cuò)位相減法，求出T_n．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n+4-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5
∵a₁=1不適合上式，
∴an=

1 n=1 2n-5 n≥2

（2）證明：∵bn=

an

2n

=

1 2  &，n=1 2n-5 2n ，n≥2

．
當(dāng)n=1時(shí)，T1=

1

2

，
當(dāng)n≥2時(shí)，Tn=

1

2

+

-1

22

+

1

23

+…+

2n-5

2n

，①

1

2

Tn=

1

22

+

-1

23

+

1

24

+…+

2n-7

2n

+

2n-5

2n+1

．②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

-

2

22

+2(

1

23

+…+

1

2n

)-

2n-5

2n+1

=

1

2

(1-

1

2n-2

)-

2n-5

2n+1

得Tn=1-

2n-1

2n

(n≥2)，
此式當(dāng)n=1時(shí)也適合．
∴Tn=1-

2n-1

2n

(n∈N^*）．
∵

2n-1

2n

＞0(n∈N*)，
∴T_n＜1．
當(dāng)n≥2時(shí)，Tn+1-Tn=(1-

2n+1

2n+1

)-(1-

2n-1

2n

)=

2n-3

2n+1

＞0，
∴T_n＜T_n+1（n≥2）．
∵T1=

1

2

，T2=1-

3

4

=

1

4

，
∴T₂＜T₁．
故T_n≥T₂，即Tn≥

1

4

(n∈N*)．
綜上，

1

4

≤Tn＜1(n∈N*)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)公式以及數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，對(duì)于等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積形式的數(shù)列，一般采取錯(cuò)位相減的方法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，這種方法要熟練掌握．體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．