【題目】已知函數(shù)在定義域上滿足
恒成立.
(1)求實數(shù)的值;
(2)令在
上的最小值為
,求證:
.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1) 若在
上恒成立,則只需函數(shù)
即可,
,對
進行分類討論可確定函數(shù)
的單調性,可得當
時函數(shù)
有最大值
,利用導數(shù)法可判斷
,又
,從而可求得
的值;
(2)由(1)知,可得
,令
,可證
,使得
,從而可確定
在
上單調遞減,在
上單調遞增,進而可得
,即
,即可證出
.
(1)的定義域為
,且
,
①當時,
,故
在
上單調遞增,
由于,所以當
時,
,不合題意.
②當時,
,
所以當時,
;當
時,
,
所以在
上單調遞增,
在
上單調遞減,
即.
所以要使在
時恒成立,則只需
,
亦即.
令,則
,
所以當時,
;當
時,
,
即在
上單調遞減,在
上單調遞增.
又,所以滿足條件的
只有2,即
.
(2)由(1)知,
,
所以,
于是.
令,則
,
由于,所以
,即
在
上單調遞增;
又,
,所以
,使得
,即
,
且當時,
;當
時,
,
即在
上單調遞減;在
上單調遞增.
所以,即
,
所以,
所以.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
是直角梯形,側棱
底面
,
垂直于
和
,
為棱
上的點,
,
.
(1)若為棱
的中點,求證:
//平面
;
(2)當時,求平面
與平面
所成的銳二面角的余弦值;
(3)在第(2)問條件下,設點是線段
上的動點,
與平面
所成的角為
,求當
取最大值時點
的位置.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從拋物線上各點向x軸作垂線,垂線段中點的軌跡為E.
(1)求曲線E的方程;
(2)若直線與曲線E相交于A,B兩點,求證:
;
(3)若點F為曲線E的焦點,過點的直線與曲線E交于M,N兩點,直線
,
分別與曲線E交于C,D兩點,設直線
,
斜率分別為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(題文)如圖,長方形材料中,已知
,
.點
為材料
內部一點,
于
,
于
,且
,
. 現(xiàn)要在長方形材料
中裁剪出四邊形材料
,滿足
,點
、
分別在邊
,
上.
(1)設,試將四邊形材料
的面積表示為
的函數(shù),并指明
的取值范圍;
(2)試確定點在
上的位置,使得四邊形材料
的面積
最小,并求出其最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有一個長方形木塊,三個側面積分別為8,12,24,現(xiàn)將其削成一個正四面體模型,則該正四面體模型棱長的最大值為( )
A.2B.C.4D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.命題“”的否定是“
”
B.命題“已知,若
則
或
”是真命題
C.命題“若則函數(shù)
只有一個零點”的逆命題為真命題
D.“在
上恒成立”
在
上恒成立
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,直線
與拋物線
交于
為拋物線
上一點.
(1)若,求
(2)已知點,過點
作直線
分別交曲線
于
,證明:在點
運動過程中,直線
始終過定點,并求出該定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,如圖4①,②,③,④為她們刺繡最簡單的四個圖案,這些圖案都是由小正方形構成,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設第n個圖形包含f(n)個小正方形.
(1)求出f(5)的值;
(2)利用合情推理的“歸納推理思想”,歸納出f(n+1)與f(n)之間的關系式,并根據(jù)你得到的關系式求出f(n)的表達式;
(3)求的值.
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