Question

函數(shù)數(shù)列{f_n（x）}滿足：f1(x)=

x

1+x2

(x＞0)，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]
（1）求f₂（x），f₃（x）；
（2）猜想f_n（x）的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）f2(x)=f1(f1(x))=

f1(x)

1+ f 21 (x)

=

x

1+2x2

f3(x)=f1(f2(x))=

f2(x)

1+ f 22 (x)

=

x

1+3x2

（2）猜想：fn(x)=

x

1+nx2

(n∈N*)
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，f1(x)=

x

1+x2

2，已知，顯然成立
②假設(shè)當(dāng)n=K（K∈N^*）4時(shí)，猜想成立，即fk(x)=

x

1+kx2

則當(dāng)n=K+1時(shí)，fk+1(x)=f1(fk(x))=

fk(x)

1+ f 2k (x)

=

x 1+kx2

1+( x 1+kx2 )2

=

x

1+(k+1)x2

即對(duì)n=K+1時(shí)，猜想也成立．
結(jié)合①②可知：猜想fn(x)=

x

1+nx2

對(duì)一切n∈N^*都成立．