Question

函數(shù)數(shù)列{f_n（x）}滿足：f₁（x）=

x

1+x2

（x＞0），f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]．
（Ⅰ）求f₂（x），f₃（x）；
（Ⅱ）猜想f_n（x）的解析式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，計(jì)算f₂（x）=f₁[f₁（x）]可求得f₂（x）=

x

1+2x2

，同理可求f₃（x）=

x

1+3x2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想f_n（x）=

x

1+nx2

，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可（應(yīng)用好歸納假設(shè)）．

解答：解：（Ⅰ）∵f₁（x）=

x

1+x2

（x＞0），f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
∴f₂（x）=f₁[f₁（x）]=

f1(x)

1+f12(x)

 =

x 1+x2

1+ x2 1+x2

=

x

1+2x2

，
f₃（x）=f₁[f₂（x）]=

f2(x)

1+f22(x)

 =

x 1+2x2

1+ x2 1+2x2

=

x

1+3x2

，…
（Ⅱ）猜想f_n（x）=

x

1+nx2

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1°當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立．
2°假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，即有f_k（x）=

x

1+kx2

，
那么f_k+1（x）=f₁[f_k（x）]=

fk(x)

1+fk2(x)

 =

x 1+kx2

1+ x2 1+kx2

=

x

1+(k+1)x2

，
這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．
由1°2°可知，猜想對(duì)n∈N^*均成立．
故f_n（x）=

x

1+nx2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，著重考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，突出考查推理證明的能力，屬于難題．