Question

11．如圖，AB和AC分別是⊙O的弦和切線，A為切點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線且交⊙O于D，BD的延長(zhǎng)線與AC交于C，若AC=6，AD=5，則AB=7.5．

Answer 1

分析 根據(jù)切割線定理求出CD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得AB．

解答 解：∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD
∵AC是⊙O的切線
∴∠CAD=∠B（弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角）
∴∠BAD=∠B
∴BD=AD=5
根據(jù)切割線定理AC×AC=CD×BC=CD×（CD+BD）
6×6=CD×CD+5CD
解得CD=4，
根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得$\frac{AB}{6}=\frac{5}{4}$，∴AB=7.5．
故答案為7.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查切割線定理、角平分線的性質(zhì)，屬于中檔題．