Question

19．已知|$\overrightarrow{a}$|=5，|$\overrightarrow$|=12，當(dāng)且僅當(dāng)m為何值時(shí)，向量$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow$互相垂直．

Answer 1

分析 首先由已知向量$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow$互相垂直得到（$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow$）=0，展開(kāi)，得到模長(zhǎng)關(guān)系式，求出m．

解答 解：若向量$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow$互相垂直，則有（$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow$）=0，
∴$\overrightarrow{a}$²-m²$\overrightarrow$²=0．
∵|$\overrightarrow{a}$|=5，|$\overrightarrow$|=12，
∴25-144m ²=0．
∴m=±$\frac{5}{12}$．
∴當(dāng)且僅當(dāng)m=±$\frac{5}{12}$時(shí)，向量$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow$互相垂直．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量垂直，數(shù)量積為0的運(yùn)用；屬于基礎(chǔ)題．