Question

20．一個圓經(jīng)過橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的三個頂點，且圓心在x軸上，則該圓的標準方程為（x$±\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 由橢圓的方程求出頂點坐標，然后求出圓心坐標，進一步求出圓的半徑可得圓的方程．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可知橢圓的右頂點坐標（4，0），上下頂點坐標（0，±2），
∵圓經(jīng)過橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的三個頂點，且圓心在x軸上．
當圓經(jīng)過橢圓右頂點及短軸兩端點時，
設(shè)圓的圓心（a，0），則$\sqrt{{a}^{2}+4}=4-a$，解得a=$\frac{3}{2}$，
圓的半徑為：$\frac{5}{2}$，
所求圓的方程為：（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$；
當圓經(jīng)過橢圓左頂點及短軸兩端點時，
討論可得圓的方程為：（x+$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$．
故答案為：（x$±\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，圓的方程的求法，考查計算能力，是中檔題．