Question

【題目】已知且，函數(shù).

（1）求的定義域及其零點；

（2）討論并用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（3）設，當時，若對任意，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 定義域為,函數(shù)的零點為-1;(2)見解析;(3) .

【解析】試題分析：（1）由題意知求得函數(shù) 定義域為，再由，即可求解函數(shù)的零點；

（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可證明函數(shù)的單調(diào)性；

（3）由任意，存在，使得成立，得到

由（2）知當時， 在上單調(diào)遞增，得到函數(shù)的最大值為，分三種情況討論，即可求解實數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（1）由題意知， ， ，解得，

所以函數(shù) 定義域為.

令，得，解得，故函數(shù)的零點為-1；

（2）設， 是內(nèi)的任意兩個不相等的實數(shù)，且，則，

∵，∴，即

所以當時， ，故在上單調(diào)遞減，

當時， ，故在上單調(diào)遞增.

（3）若對于任意，存在，使得成立，

只需

由（2）知當時， 在上單調(diào)遞增，則

①當時， ， 成立

②當時， 在上單調(diào)遞增， ，由，解得，∴

③當時， 在上單調(diào)遞減， ，由，解得，∴

綜上，滿足條件的的范圍是.