Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n（n≥2），試判斷T_n與2的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），得an+1=

2an

2+an

，代入計算可求a₂，a₃，a₄的值，確定{

1

an

}是以1為首項，

1

2

為公差的等差數(shù)列，可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）確定數(shù)列的通項，利用裂項法求和，可判斷T_n與2的大�。�

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），得an+1=

2an

2+an

，
∵a₁=1，∴a2=

2a1

2+a1

=

2

3

，a2=

2a2

2+a2

=

2

4

，a4=

2a3

2+a3

=

2

5

．  …（3分）
又由an+1=

2an

2+an

得

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
∴{

1

an

}是以1為首項，

1

2

為公差的等差數(shù)列，
∴

1

an

=1+

1

2

（n-1）=

n+1

2

，∴an=

2

n+1

．                                    …（7分）
（Ⅱ）T_n＜2． 證明如下：…（8分）
當n≥2時，a_n-1a_n=

2

n

•

2

n+1

=4（

1

n

-

1

n+1

），…（10分）
∴T_n=4[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=4（

1

2

-

1

n+1

）=2-

4

n+1

＜2…（15分）

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查裂項法求數(shù)列的和，屬于中檔題．