Question

已知函數(shù)f（x）=ax-2lnx，a∈R
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）對于曲線上的不同兩點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲線上的點Q（x₀，y₀），且x₁＜x₀＜x₂，使得曲線在點Q處的切線l∥P₁P₂，則稱l為弦P₁P₂的伴隨切線．當(dāng)a=2時，已知兩點A（1，f（1）），B（e，f（e）），試求弦AB的伴隨切線l的方程；
（Ⅲ）設(shè)，若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）．
當(dāng)a≤0時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，∴函數(shù)f（x）沒有極值．
當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，得．
當(dāng)x變化時，f'（x）與f（x）變化情況如下表：

x
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴當(dāng)時，f（x）取得極小值．
綜上，當(dāng)a≤0時，f（x）沒有極值；
當(dāng)a＞0時，f（x）的極小值為，沒有極小值．
（Ⅱ）當(dāng)a=2時，設(shè)切點Q（x₀，y₀），則切線l的斜率為．
弦AB的斜率為．
由已知得，l∥AB，則=，解得x₀=e-1，
所以，弦AB的伴隨切線l的方程為：．
（Ⅲ）本命題等價于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，
設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=，F(xiàn)'（x）=，
所以F（x）為增函數(shù)，F(xiàn)（x）_max=F（e）．
依題意需F（e）＞0，解得．
所以a的取值范圍是．
分析：（I）首先對函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，解出x的值，分兩種情況討論：當(dāng)f′（x）＞0，即x＞2，或x＜-2時；當(dāng)f′（x）＜0，即-2＜x＜2時，列表做出函數(shù)的極值點，求出極值．
（II）設(shè)出切點坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)表示出切線的斜率，然后把切點的橫坐標(biāo)代入到曲線的導(dǎo)函數(shù)中得到切線的斜率，根據(jù)伴隨切線的含義寫出弦AB的伴隨切線l的方程即可；
（Ⅲ）本命題等價于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，從而得出a的取值范圍．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、函數(shù)極值的求法，本題解題的關(guān)鍵是對函數(shù)求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)等于0時對應(yīng)的變量的取值，再進(jìn)行討論，本題是一個中檔題目，這個知識點一般出現(xiàn)在綜合題目中．