【題目】已知橢圓與y軸的正半軸相交于點(diǎn)M，且橢圓E上相異兩點(diǎn)A、B滿足直線MA,MB的斜率之積為．

（Ⅰ）證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求三角形ABM的面積的最大值．

【答案】（1）直線恒過(guò)定點(diǎn)．（2）

【解析】試題分析：利用設(shè)而不求思想設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，首先考慮 直線斜率不存在的情況，然后研究直線斜率存在的一般情況，設(shè)出直線斜截式方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，代入整理后寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)MA、MB的斜率之積為，代入，解出，得出直線過(guò)定點(diǎn)，第二步聯(lián)立方程組后利用判別式大于零，求出k的范圍，表示三角形的面積，利用基本不等式求出最值 .

試題解析：

解：（Ⅰ）由橢圓的方程得，上頂點(diǎn),記 由題意知， ，若直線的斜率不存在，則直線的方程為，故，且，因此，與已知不符，因此直線的斜率存在，設(shè)直線： ，代入橢圓的方程得： ………①

因?yàn)橹本�與曲線有公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)非零不等實(shí)根，

所以，

又， ，

由 ，得

即

所以

化簡(jiǎn)得： ，故或，

結(jié)合知，

即直線恒過(guò)定點(diǎn)．

（Ⅱ）由且得： 或，

又

，當(dāng)且僅當(dāng)，即 時(shí)， 的面積最大，最大值為 ．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在平面四邊形ABCD中，△BCD是正三角形，AB=AD=1，∠BAD=θ．
（Ⅰ）將四邊形ABCD的面積S表示成關(guān)于θ的函數(shù)；
（Ⅱ）求S的最大值及此時(shí)θ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】猜商品的價(jià)格游戲， 觀眾甲： 主持人：高了! 觀眾甲： 主持人：低了! 觀眾甲： 主持人：高了! 觀眾甲： 主持人：低了! 觀眾甲： 主持人：低了! 則此商品價(jià)格所在的區(qū)間是 （ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對(duì)給定的正數(shù)，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域?yàn)?/span>，則稱(chēng)區(qū)間為的級(jí)“理想?yún)^(qū)間”.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A. 函數(shù)（）存在1級(jí)“理想?yún)^(qū)間”

B. 函數(shù)（）不存在2級(jí)“理想?yún)^(qū)間”

C. 函數(shù)（）存在3級(jí)“理想?yún)^(qū)間”

D. 函數(shù)， 不存在4級(jí)“理想?yún)^(qū)間”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且兩坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位.已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為， 是曲線： 上任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），且直線與曲線交于， 兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分，（1）小問(wèn)7分，（2）小問(wèn)5分）

設(shè)函數(shù)

（1）若在處取得極值，確定的值，并求此時(shí)曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若在上為減函數(shù)，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線的極坐標(biāo)方程為），圓的參數(shù)方程為： （其中為參數(shù)）.

（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；

（2）若橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過(guò)圓的圓心且與直線垂直的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿著同一條直線航行，某一時(shí)刻，甲船在最前面的點(diǎn)處，乙船在中間點(diǎn)處，丙船在最后面的點(diǎn)處，且.一架無(wú)人機(jī)在空中的點(diǎn)處對(duì)它們進(jìn)行數(shù)據(jù)測(cè)量，在同一時(shí)刻測(cè)得， .（船只與無(wú)人機(jī)的大小及其它因素忽略不計(jì)）

（1）求此時(shí)無(wú)人機(jī)到甲、丙兩船的距離之比；

（2）若此時(shí)甲、乙兩船相距100米，求無(wú)人機(jī)到丙船的距離.（精確到1米）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知是直線上任意一點(diǎn)，過(guò)作，線段的垂直平分線交于點(diǎn).

(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡對(duì)應(yīng)的方程；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡相交于兩點(diǎn)，（ 點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，且，求的外接圓的方程.

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