(2013•虹口區(qū)二模)已知復(fù)數(shù)zn=an+bn•i,其中an∈R,bn∈R,n∈N*,i是虛數(shù)單位,且zn+1=2zn+
.
zn
+2i
,z1=1+i.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求和:①z1+z2+…+zn;②a1b1+a2b2+…+anbn
分析:(1)由zn=an+bn•i,取n=1后得到z1=a1+b1•i,結(jié)合已知條件求出a1,b1.再由zn+1=2zn+
.
zn
+2i
,
把zn=an+bn•i代入后由復(fù)數(shù)相等可得數(shù)列{an},{bn}分別為等比數(shù)列和等差數(shù)列,則數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式可求;
(2)①直接由等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn),②由錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解.
解答:解:(1)∵z1=a1+b1•i=1+i,∴a1=1,b1=1.
zn+1=2zn+
.
zn
+2i
,得an+1+bn+1•i=2(an+bn•i)+(an-bn•i)+2i=3an+(bn+2)•i,
an+1=3an
bn+1=bn+2
,
∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)公比為3的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)公差為2的等差數(shù)列,
an=3n-1,bn=2n-1;
(2)由(1)知an=3n-1,bn=2n-1.
①z1+z2+…+zn=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)•i
=(1+31+32+…+3n-1)+(1+3+5+••+2n-1)•i
=
1
2
(3n-1)+n2•i

②令Sn=a1b1+a2b2+…+anbn,Sn=1+3•3+32•5+…+3n-1•(2n-1)(Ⅰ)
將(Ⅰ)式兩邊乘以3得,3Sn=3•1+32•3+33•5+…+3n•(2n-1)(Ⅱ)
將(Ⅰ)減(Ⅱ)得-2Sn=1+2•3+2•32+2•33+…+2•3n-1-3n•(2n-1)
-2Sn=-2+3n(-2n+2),
所以Sn=(n-1)•3n+1
點(diǎn)評(píng):本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)相等的條件,考查了等差關(guān)系和等比關(guān)系的確定,考查了數(shù)列的和,由等差數(shù)列和等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列,求和的方法是錯(cuò)位相減法.是中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•虹口區(qū)二模)已知函數(shù)y=2sin(x+
π
2
)cos(x-
π
2
)
與直線y=
1
2
相交,若在y軸右側(cè)的交點(diǎn)自左向右依次記為M1,M2,M3,…,則|
M1M13
|
等于( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•虹口區(qū)二模)在正方體ABCD-A1B1C1D1中與異面直線AB,CC1均垂直的棱有( 。l.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•虹口區(qū)二模)函數(shù)f(x)=(2k-1)x+1在R上單調(diào)遞減,則k的取值范圍是
-∞,
1
2
-∞,
1
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•虹口區(qū)二模)已知復(fù)數(shù)z=
(1-i)31+i
,則|z|=
2
2

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案