設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）2-2klnx．
（1）當(dāng)k=2時，求函數(shù)f（x）的增區(qū)間；
（2）當(dāng)k＜0時，求函數(shù)g（x）=f′（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值．
分析：（1）因為要求函數(shù)的增區(qū)間所以求出f′（x）令其大于零，同時考慮到x＞0，故求出增區(qū)間即可；
（2）因為g（x）=f'（x），分區(qū)間討論k的取值并根據(jù)a+b≥2
ab
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號的方法求出最小值即可．
解答：解（1）k=2，f（x）=（x+1）2-4lnx．
則f′（x）=2x+2-
4
x
=
2
x
(x-1)(x+2)＞0，（此處用“≥”同樣給分）
注意到x＞0，故x＞1，于是函數(shù)的增區(qū)間為（1，+∞）．（寫為[1，+∞）同樣給分）
（2）當(dāng)k＜0時，g（x）=f′（x）=2x+2-
2k
x
．
g（x）=2(x+
-k
x
)+2≥4
-k
+2，當(dāng)且僅當(dāng)x=
-k
時，上述“≥”中取“=”．
①若
-k
∈（0，2]，即當(dāng)k∈[-4，0）時，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值為4
-k
+2；
②若k＜-4，則g′(x)=2(1+
k
x2
)在（0，2]上為負恒成立，故g（x）在區(qū)間（0，2]上為減函數(shù)，
，于是g（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值為g（2）=6-k．
綜上所述，當(dāng)k∈[-4，0）時，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值為4
-k
+2；
當(dāng)k＜-4時，函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，2]上的最小值為6-k．
點評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力，a+b≥2
ab
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號的靈活運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（一）（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的極值；
（2）設(shè)0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數(shù)的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=lnx-2x2+4x+t（t為常數(shù)），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實數(shù)m有且只有一個，求實數(shù)m和t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年江蘇省蘇州市高考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的極值；
（2）設(shè)0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數(shù)的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=lnx-2x2+4x+t（t為常數(shù)），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實數(shù)m有且只有一個，求實數(shù)m和t的值．

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