Question

已知函數(shù)f（x）=ab^x（a，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點P（1，

1

8

）和Q（4，8）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）記a_n=log₂ f（n），n是正整數(shù)，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，求s_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）把點P（1，

1

8

）和Q（4，8）代入f（x）=ab^x，即可求出a，b的值，再代入f（x）=ab^x，就可求出函數(shù)f（x）的解析式．
（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)f（x）的解析式，化簡a_n=log₂ f（n），再利用等差數(shù)列的前n項和可看成是n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出s_n的最小值．

解答：解：（1）因為函數(shù)f（x）=ab^x（a，b為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點P，Q則有

ab= 1 8 ab4=8

解得

a= 1 32 b=4

∴f(x)=

1

32

4x(也可以寫成4x-

5

2

等不同的形式．)
（2）a_n=log₂f（n）=log₂

4n

32

=2n-5
因為a_n+1-a_n=2（n+1）-5-（2n-5）=2；
所以{a_n}是首項為-3，公差為 2的等差數(shù)列   （不寫此步驟要扣2分）．
所以Sn=

n(-3+2n-5)

2

=n2-4n=（n-2）²-4，當(dāng)n=2時，s_n取最小值-4

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及函數(shù)和數(shù)列相結(jié)合，求最值的方法．