精英家教網(wǎng)如圖，在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1E=CF=1．
（1）求兩條異面直線AC1與D1E所成角的余弦值；
（2）求直線AC1與平面BED1F所成角的正弦值．
分析：（1）以以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則我們易求出已知中，各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量
AC1
，
D1E
的坐標(biāo)．代入向量夾角公式，結(jié)合異面直線夾角公式，即可得到答案．
（2）設(shè)出平面BED1F的一個法向量為
n
，根據(jù)法向量與平面內(nèi)任一向量垂直，數(shù)量積為0，構(gòu)造方程組，求出平面BED1F的法向量為
n
的坐標(biāo)，代入線面夾角向量公式，即可求出答案．
解答：解：（1）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示：
精英家教網(wǎng)
則A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）
∴
AC1
=（-3，3，3），
D1E
=（3，0，-1）
∴cosθ=
AC1
•
D1E
|
AC1
|•|
D1E
|
=
-9-3
3
3
×
10
=-
2
30
15

則兩條異面直線AC1與D1E所成角的余弦值為
2
30
15

（2）B（3，3，0），
.
BE
=（0，-3，2），
D1E
=（3，0，-1）
設(shè)平面BED1F的一個法向量為
n
=（x，y，z）
由
n
•
D1E
=0
n
•
BE
=0
得
3x-z=0
-3y+2z=0

令x=1，則
n
=（1，2，3）
則直線AC1與平面BED1F所成角的正弦值為
|
AC1
•
n
|
AC1
|•|
n
|
|=|
-3+6+9
3
3
×
14
|=
2
42
21
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是用空間向量求直線與平面的夾角，異面直線及其所成的角，直線與平面所成的角，用空間向量求直線間的夾角、距離，其中構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系，將線線夾角及線面夾角問題，轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)棱長為2的正四面體的四個頂點(diǎn)都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（　　）
A、
2
2
B、
3
2
C、
2
D、
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面邊長為2，側(cè)棱長為3，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)G分別為CC′、DD′上的點(diǎn)，且CF=2GD=2．求：
（Ⅰ）C′到面EFG的距離；
（Ⅱ）DA與面EFG所成的角的正弦值；
（III）在直線BB'上是否存在點(diǎn)P，使得DP∥面EFG？，若存在，找出點(diǎn)P的位置，若不存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•安徽模擬）下面關(guān)于棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1敘述正確的是
②④⑤
②④⑤
．
①任取四個頂點(diǎn)，共面的情況有8種；
②任取四個頂點(diǎn)順次連接總共可構(gòu)成10個正三棱錐；
③任取六個表面中的兩個，兩面平行的情況有5種；
④如圖把正方體展開，正方體原下底面A1B1C1D1與標(biāo)號4對應(yīng)；
⑤在原正方體中任取兩個頂點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的距離在區(qū)間(
10
2
，
3
)內(nèi)的情況有4種．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在所有棱長為a的正三棱柱ABC—A1B1C1中，D為BC的中點(diǎn).

(1)求證:AD⊥BC1；

(2)求二面角ABC1D的大小；

(3)求點(diǎn)B1到平面ABC1的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖,棱長為1的正四面體ABCD中,E、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn),O是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影.

(1)求直線EF與直線BC所成角的大小;

(2)求點(diǎn)O到平面ACD的距離;

(3)(理)求二面角ABEF的大小.

(文)求二面角CBFE的大小.

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同步練習(xí)冊答案