Question

如圖,棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中,E、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn),O是點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影.

(1)求直線EF與直線BC所成角的大小;

(2)求點(diǎn)O到平面ACD的距離;

(3)(理)求二面角ABEF的大小.

(文)求二面角CBFE的大小.

Answer 1

解：方法一:(1)因?yàn)镋、F分別是棱AD、CD的中點(diǎn),所以EF∥AC.所以∠BCA是EF與BC所成角.因?yàn)檎�四面體ABCD,所以△ABC為正三角形.所以∠BCA=60°,即EF與BC所成角的大小是60°.

(2)解法一:如圖,連結(jié)AO,AF,

因?yàn)镕是CD的中點(diǎn),且△ACD,△BCD均為正三角形,所以BF⊥CD,AF⊥CD.因?yàn)锽F∩AF=F,所以CD⊥面AFB.因?yàn)镃D面ACD,所以面AFB⊥面ACD.因?yàn)锳BCD是正四面體,且O是點(diǎn)A在面BCD內(nèi)的射影,所以點(diǎn)O必在正三角形BCD的中線BF上.在面ABF中,過O作OG⊥AF,垂足為G,所以O(shè)G⊥面ACD,即OG的長(zhǎng)為點(diǎn)O到面ACD的距離.因?yàn)檎�四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1,在△ABF中,容易求出AF=BF=,OF=,AO=,因?yàn)椤鰽OF∽△OGF,故由相似比易求出OG=.所以點(diǎn)O到平面ACD的距離是.

解法二:如圖,連結(jié)AO,CO,DO,所以點(diǎn)O到平面ACD的距離就是三棱錐O—ACD底面ACD上的高h(yuǎn).與解法一同理容易求出OF=,AO=,所以V_A—COD=· (··1)=.

因?yàn)閂_O—ACD=V_A—COD,所以=V_O—ACD=·h·(··1).解得h=.

(3)(理)設(shè)△ABD中,AB邊的中線交BE于H,連結(jié)CH,則由ABCD為正四面體知CH⊥面ABD.

設(shè)HD的中點(diǎn)為K,則FK∥CH.

所以FK⊥面ABD.在面ABD內(nèi),過點(diǎn)K作KN∥AD,KN交BE于M,交AB于N,因?yàn)锽E⊥AD,所以NM⊥BE.連結(jié)FM,所以FM⊥BE.所以∠NMF是所求二面角的平面角.

因?yàn)镕K=CH=·=,MK=ED=AD=,所以tan∠FMK==.

所以tan∠NMF=tan(π-∠FMK)=.所以所求二面角的大小為π-arctan.

(或者由正四面體的對(duì)稱性,可轉(zhuǎn)求二面角CBFE的大小)

(文)連結(jié)OD,設(shè)OD的中點(diǎn)為K,連結(jié)EK,

則EK∥AO.因?yàn)锳O⊥面BCD,所以EK⊥面BCD.在平面BCD內(nèi),過點(diǎn)K作KN∥CD,KN交BF于M,交BC于N,因?yàn)锽F⊥CD,所以KN⊥BF.連結(jié)EM,所以EM⊥BF.所以∠NME是所求二面角的平面角.

因?yàn)镋K=AO=·=,MK=FD=CD=,所以tan∠EMK==.

所以tan∠NME=tan(π-∠EMK)=.所以所求二面角的大小為π-arctan.

方法二:如圖,以點(diǎn)A在面BCD的射影O為坐標(biāo)原點(diǎn),有向直線OA為z軸,有向直線BF為y軸,x軸為過點(diǎn)O與DC平行的有向直線.

因?yàn)檎�四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1,

所以可以求出各點(diǎn)的坐標(biāo)依次為:O(0,0,0),A(0,0,),B(0,-,0),C(,,0),D(-,

,0),E(-,,),F(0,,0).

(1)因?yàn)?SUB>=(,,-),=(,,0),又=×+×-×0

=+=,且||=||=,||=1,所以cos〈〉==.

所以EF與BC所成角的大小是60°.

(2)因?yàn)?SUB>=(,,-),=(-,,-),

設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為F_ACD=(x₁,y₁,z₁),由·F_ACD=0,·F_ACD=0,

解得F_ACD=(0,2,).因?yàn)?SUB>=(0,,0),·F_ACD=,|F_ACD|=,

所以點(diǎn)O到平面ACD的距離d=.

(3)(理)因?yàn)?SUB>=(0,-,-),=(-,,-),

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為F_ABD=(x₂,y₂,z₂),由·F_ABD=0,·F_ABD=0,

可得一個(gè)法向量F_ABD=().

同理可以求出平面BEF的一個(gè)法向量為F_BEF=(,0,3).

因?yàn)?I >F_ABD·F_BEF=-9,|F_ABD|=3,|F_BEF|=,所以cosβ=.

所以二面角ABEF的大小為arccos()=π-arccos.

(文)因?yàn)?SUB>=(,,-),=(0,,0),設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為F_BEF=(x₂,y₂,z₂),

由·F_BEF=0,·F_BEF=0,可得平面BEF的一個(gè)法向量F_BEF=(,0,3).

容易得到平面BCF的一個(gè)法向量F_BCF=(0,0,-1).因?yàn)?I >F_BEF·F_BCF=-3,|F_BEF|=,|F_BCF|=1,

所以cosβ=.

所以二面角CBFE的大小為arccos()=π-arccos.