【題目】若函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：對(duì)任意的正整數(shù)都有，.

【答案】（1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； （2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)后，令可確定其在范圍內(nèi)的根，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)性；

（2）將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為，令，則只需，利用導(dǎo)數(shù)可求得，進(jìn)而得到結(jié)果；

（3）取，結(jié)合（2）的結(jié)論可得，根據(jù)可裂項(xiàng)相加證得結(jié)論.

（1）由題意得：定義域?yàn)?/span>，，

設(shè)，，

有兩個(gè)根，設(shè)為，且，

，，，則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2），，又，，

設(shè)，，

令，則，在上單調(diào)遞減，

又，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，

恒成立即，即的取值范圍為.

（3）取，由（2）知：，，

當(dāng)時(shí)，，，；

取，得；取，得；……；取，得；

將這個(gè)式子相加得：.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；

（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時(shí)，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】公元263年左右，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，多邊形面積可無(wú)限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”.利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”.小華同學(xué)利用劉徽的“割圓術(shù)”思想在半徑為1的圓內(nèi)作正邊形求其面積，如圖是其設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則框圖中應(yīng)填入、輸出的值分別為（ ）

（參考數(shù)據(jù)：）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給出下列四個(gè)命題：

①命題“若，則”的逆否命題；

②“，使得”的否定是：“，均有”；

③命題“”是“”的充分不必要條件；

④：，：，且為真命題．

其中真命題的序號(hào)是________．（填寫所有真命題的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知某芯片所獲訂單（億件）與生產(chǎn)精度（納米）線性相關(guān)，該芯片的合格率與生產(chǎn)精度（納米）也線性相關(guān)，并由下表中的5組數(shù)據(jù)得到，與滿足線性回歸方程為：．

精度（納米）

16

14

10

7

3

訂單（億件）

7

9

12

14.5

17.5

合格率

0.99

0.98

0.95

0.93

（1）求變量與的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)生產(chǎn)精度為1納米時(shí)該芯片的訂單（億件）；

（2）若某工廠生產(chǎn)該芯片的精度為3納米時(shí)，每件產(chǎn)品的合格率為，且各件產(chǎn)品是否合格相互獨(dú)立．該芯片生產(chǎn)后成盒包裝，每盒100件，每一盒產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．現(xiàn)對(duì)一盒產(chǎn)品檢驗(yàn)了10件，結(jié)果恰有一件不合格，已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格產(chǎn)品支付200元的賠償費(fèi)用．若不對(duì)該盒余下的產(chǎn)品檢驗(yàn)，這一盒產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，以為決策依據(jù)，判斷是否該對(duì)這盒余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

（參考公式：，）

（參考數(shù)據(jù)：；）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)的圖象與軸相切．

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】萊昂哈德·歐拉，瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家.歲時(shí)入讀巴塞爾大學(xué)，歲大學(xué)畢業(yè)，歲獲得碩士學(xué)位，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家.其中之一就是他發(fā)現(xiàn)并證明歐拉公式，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是數(shù)學(xué)里令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)量聯(lián)系起來(lái)：兩個(gè)超越數(shù)：自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，圓周率；兩個(gè)單位：虛數(shù)單位和自然數(shù)單位；以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的，數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”請(qǐng)你根據(jù)歐拉公式：，解決以下問題：

（1）試將復(fù)數(shù)寫成（、，是虛數(shù)單位）的形式；

（2）試求復(fù)數(shù)的模.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

(1)若關(guān)于的不等式的解集為,求的值;

(2)若對(duì)任意恒成立,求的取值范圍.

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