Question

【題目】若函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）求證：對任意的正整數(shù)都有，.

Answer 1

【答案】（1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； （2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)后，令可確定其在范圍內(nèi)的根，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)性；

（2）將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為，令，則只需，利用導(dǎo)數(shù)可求得，進(jìn)而得到結(jié)果；

（3）取，結(jié)合（2）的結(jié)論可得，根據(jù)可裂項相加證得結(jié)論.

（1）由題意得：定義域為，，

設(shè)，，

有兩個根，設(shè)為，且，

，，，則，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2），，又，，

設(shè)，，

令，則，在上單調(diào)遞減，

又，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，

恒成立即，即的取值范圍為.

（3）取，由（2）知：，，

當(dāng)時，，，；

取，得；取，得；……；取，得；

將這個式子相加得：.