Question

已知冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.

（Ⅰ）求實數(shù)的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)的解析式；

（II）若在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；

（III）試判斷是否存在正數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上的值域為. 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由

 

Answer 1

【答案】

解: （Ⅰ）由題意知  解得         

又  ∴或，分別代入原函數(shù)得.

（II）由已知得.                    

要使函數(shù)不單調(diào)，則，則.

（III）由已知，

法一：假設(shè)存在這樣的正數(shù)符合題意，則函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，其對稱軸為

因而，函數(shù)在上的最小值只能在或處取得

又，從而必有

解得

此時，，其對稱軸

∴在上的最大值為符合題意．

法二： 由(1)知，假設(shè)存在這樣的正數(shù)，符合題意，則函數(shù)

的圖象是開口向下的拋物線，其對稱軸為 ，  

（1）當(dāng)，且，即時，在上單調(diào)遞減，

  ，則與矛盾，故不可能；               

（2）當(dāng)，且，即時，有

得或（舍去）.

所以 ，此時，，符合題意

綜上所述，存在正數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上的值域為

【解析】略