Question

已知函數(shù)已知冪函數(shù)g(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，又f（x）=sinx+mcosx，F(xiàn)（x）=f′（x）[f（x）+f′（x）]-1，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（I）若tanx=

1

3

，求F（x）的值；
（Ⅱ）把F（x）圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來的一半后得到H（x），求H（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用冪函數(shù)f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，確定m的值．再求導(dǎo)，即可求得F（x）的值；
（Ⅱ）先確定H（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得H（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：（I）冪函數(shù)f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
∴-m²+2m+3＞0，∴-1＜m＜3，
又m∈Z，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故m=1…．（3分）
∴f（x）=sinx+cosx，f'（x）=cosx-sinx
∴F（x）=f′（x）[f（x）+f′（x）]-1=2（cosx-sinx）cosx-1=cos2x-sin2x=

1-tan2x

1+tan2x

-

2tanx

1+tan2x

∵tanx=

1

3

，F(xiàn)（x）=

4

5

-

3

5

=

1

5

．…（6分）
（Ⅱ）由（I）知：F（x）=cos2x-sin2x=

2

cos(2x+

π

4

)，∴H(x)=

2

cos(4x+

π

4

)．
令2kπ≤4x+

π

4

≤2kπ+π，k∈Z得：

kπ

2

-

π

8

≤x≤

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z
∴H（x）的單調(diào)減區(qū)間為[

kπ

2

-

π

8

，

kπ

2

+

3π

8

]k∈Z…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查冪函數(shù)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．