Question

已知冪函數(shù)f(x)=x（m∈Z）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù).

（1）求函數(shù)f(x);

（2）討論F（x）=a的奇偶性.

Answer 1

（1）f(x)=x^-4.（2）①當(dāng)a≠0，且b≠0時(shí)，F(xiàn)（x）為非奇非偶函數(shù)；②當(dāng)a=0,b≠0時(shí)，F(xiàn)（x）為奇函數(shù)； ③當(dāng)a≠0,b=0時(shí)，F(xiàn)（x）為偶函數(shù)；④當(dāng)a=0,b=0時(shí)，F(xiàn)（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).  

解析:

（1）∵f（x）是偶函數(shù)，∴m²-2m-3應(yīng)為偶數(shù).                         2分

又∵f（x）在(0，+∞)上是單調(diào)減函數(shù)，

∴m²-2m-3＜0,∴-1＜m＜3.                                               4分

又m∈Z，∴m=0，1，2.

當(dāng)m=0或2時(shí)，m²-2m-3=-3不是偶數(shù)，舍去；                              6分

當(dāng)m=1時(shí)，m²-2m-3=-4;

∴m=1,即f(x)=x^-4.                                               8分

（2）F（x）=，

∴F（-x）=+bx³.                                      10分

①當(dāng)a≠0，且b≠0時(shí)，F(xiàn)（x）為非奇非偶函數(shù)；

②當(dāng)a=0,b≠0時(shí)，F(xiàn)（x）為奇函數(shù)；                                  12分

③當(dāng)a≠0,b=0時(shí)，F(xiàn)（x）為偶函數(shù)；

④當(dāng)a=0,b=0時(shí)，F(xiàn)（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).                   14分

題型】解答題