Question

（本小題滿分12分）“ALS冰桶挑戰(zhàn)賽”是一項(xiàng)社交網(wǎng)絡(luò)上發(fā)起的籌款活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)定：被邀請(qǐng)者要么在24小時(shí)內(nèi)接受挑戰(zhàn)，要么選擇為慈善機(jī)構(gòu)捐款（不接受挑戰(zhàn)），并且不能重復(fù)參加該活動(dòng).若被邀請(qǐng)者接受挑戰(zhàn)，則他需在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)布自己被冰水澆遍全身的視頻內(nèi)容，然后便可以邀請(qǐng)另外3個(gè)人參與這項(xiàng)活動(dòng).假設(shè)每個(gè)人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，且互不影響.

（Ⅰ）若某被邀請(qǐng)者接受挑戰(zhàn)后，對(duì)其他3個(gè)人發(fā)出邀請(qǐng)，則這3個(gè)人中至少有2個(gè)人接受挑戰(zhàn)的概率是多少？

（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀請(qǐng)到的3個(gè)人中恰有兩人接受挑戰(zhàn).根據(jù)活動(dòng)規(guī)定，現(xiàn)記為接下來(lái)被邀請(qǐng)到的6個(gè)人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）

【解析】

試題分析：解法一：（Ⅰ）這3個(gè)人接受挑戰(zhàn)分別記為、、，則分別表示這3個(gè)人不接受挑戰(zhàn)．

列出這3個(gè)人參與該項(xiàng)活動(dòng)的所有可能結(jié)果，統(tǒng)計(jì)其中至少有2個(gè)人接受挑戰(zhàn)的可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式，即可求出概率；（Ⅱ）因?yàn)槊總�(gè)人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，所以每個(gè)人接受挑戰(zhàn)的概率為，不接受挑戰(zhàn)的概率也為，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率即可求出概率和分布列，進(jìn)而求出期望. 解法二：因?yàn)槊總�(gè)人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的,所以每個(gè)人接受挑戰(zhàn)的概率為，不接受挑戰(zhàn)的概率也為．（Ⅰ）設(shè)事件M為“這3個(gè)人中至少有2個(gè)人接受挑戰(zhàn)”， 根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率即可求出結(jié)果； （Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601238817233730_DA/SYS201504080601238817233730_DA.008.png">為接下來(lái)被邀請(qǐng)的6個(gè)人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，所以，進(jìn)而求出期望.

試題解析：解法一：（Ⅰ）這3個(gè)人接受挑戰(zhàn)分別記為、、，則分別表示這3個(gè)人不接受挑戰(zhàn)．

這3個(gè)人參與該項(xiàng)活動(dòng)的可能結(jié)果為：，，，，，，，．共有8種； 2分

其中，至少有2個(gè)人接受挑戰(zhàn)的可能結(jié)果有：，，，，共有4種． 3分

根據(jù)古典概型的概率公式，所求的概率為． 4分

（說(shuō)明：若學(xué)生先設(shè)“用中的依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑戰(zhàn)的情況”，再將所有結(jié)果寫(xiě)成,,，,,,,，不扣分．）

（Ⅱ）因?yàn)槊總�(gè)人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，

所以每個(gè)人接受挑戰(zhàn)的概率為，不接受挑戰(zhàn)的概率也為． 5分

所以，，

，，

，，

9分

故的分布列為：

	0	1	2	3	4	5	6

所以．

故所求的期望為． 12分

解法二：因?yàn)槊總�(gè)人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，

所以每個(gè)人接受挑戰(zhàn)的概率為，不接受挑戰(zhàn)的概率也為． 1分

（Ⅰ）設(shè)事件M為“這3個(gè)人中至少有2個(gè)人接受挑戰(zhàn)”，

則． 4分

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806011133431171/SYS201504080601238817233730_DA/SYS201504080601238817233730_DA.008.png">為接下來(lái)被邀請(qǐng)的6個(gè)人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，

所以． 5分

所以，，

，，

，，

9分

故的分布列為：

	0	1	2	3	4	5	6

所以．

故所求的期望為． 12分.

考點(diǎn)：1. 離散型隨機(jī)變量的概率;2.分布列;3.數(shù)學(xué)期望.