Question

（本小題滿分12分）“ALS冰桶挑戰(zhàn)賽”是一項社交網(wǎng)絡(luò)上發(fā)起的籌款活動，活動規(guī)定：被邀請者要么在24小時內(nèi)接受挑戰(zhàn)，要么選擇為慈善機構(gòu)捐款（不接受挑戰(zhàn)），并且不能重復(fù)參加該活動.若被邀請者接受挑戰(zhàn)，則他需在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)布自己被冰水澆遍全身的視頻內(nèi)容，然后便可以邀請另外3個人參與這項活動.假設(shè)每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，且互不影響.

（Ⅰ）若某被邀請者接受挑戰(zhàn)后，對其他3個人發(fā)出邀請，則這3個人中至少有2個人接受挑戰(zhàn)的概率是多少？

（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀請到的3個人中恰有兩人接受挑戰(zhàn).根據(jù)活動規(guī)定，現(xiàn)記為接下來被邀請到的6個人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）

【解析】

試題分析：解法一：（Ⅰ）這3個人接受挑戰(zhàn)分別記為、、，則分別表示這3個人不接受挑戰(zhàn)．

列出這3個人參與該項活動的所有可能結(jié)果，統(tǒng)計其中至少有2個人接受挑戰(zhàn)的可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式，即可求出概率；（Ⅱ）因為每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，所以每個人接受挑戰(zhàn)的概率為，不接受挑戰(zhàn)的概率也為，根據(jù)離散型隨機變量的概率即可求出概率和分布列，進(jìn)而求出期望. 解法二：因為每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的,所以每個人接受挑戰(zhàn)的概率為，不接受挑戰(zhàn)的概率也為．（Ⅰ）設(shè)事件M為“這3個人中至少有2個人接受挑戰(zhàn)”， 根據(jù)離散型隨機變量的概率即可求出結(jié)果； （Ⅱ）因為為接下來被邀請的6個人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，所以，進(jìn)而求出期望.

試題解析：解法一：（Ⅰ）這3個人接受挑戰(zhàn)分別記為、、，則分別表示這3個人不接受挑戰(zhàn)．

這3個人參與該項活動的可能結(jié)果為：，，，，，，，．共有8種； 2分

其中，至少有2個人接受挑戰(zhàn)的可能結(jié)果有：，，，，共有4種． 3分

根據(jù)古典概型的概率公式，所求的概率為． 4分

（說明：若學(xué)生先設(shè)“用中的依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑戰(zhàn)的情況”，再將所有結(jié)果寫成,,，,,,,，不扣分．）

（Ⅱ）因為每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，

所以每個人接受挑戰(zhàn)的概率為，不接受挑戰(zhàn)的概率也為． 5分

所以，，

，，

，，

9分

故的分布列為：

	0	1	2	3	4	5	6

所以．

故所求的期望為． 12分

解法二：因為每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，

所以每個人接受挑戰(zhàn)的概率為，不接受挑戰(zhàn)的概率也為． 1分

（Ⅰ）設(shè)事件M為“這3個人中至少有2個人接受挑戰(zhàn)”，

則． 4分

（Ⅱ）因為為接下來被邀請的6個人中接受挑戰(zhàn)的人數(shù)，

所以． 5分

所以，，

，，

，，

9分

故的分布列為：

	0	1	2	3	4	5	6

所以．

故所求的期望為． 12分.

考點：1. 離散型隨機變量的概率;2.分布列;3.數(shù)學(xué)期望.