Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，短軸長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，是橢圓的上焦點(diǎn).問(wèn)：是否存在直線(xiàn)，使得？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在直線(xiàn)：或合題意.

【解析】

（1）由短軸長(zhǎng)為求出b，再由離心率為及解得：，，從而得解。

（2）由可得：為線(xiàn)段的中點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)方程：，聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，表示出，，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程即可求解。

解：（1）∵，，且有，

解得，，

∴橢圓的方程為.

（2）由題可知的斜率一定存在，設(shè)為，設(shè)，，

聯(lián)立

∴

∵，∴為線(xiàn)段的中點(diǎn)，

∴ ……④

將④代入②解得 ……⑤

將④代入③得 ……⑥

將⑤代入⑥解得 ……⑦

將⑦式代入①式檢驗(yàn)成立，

∴，即存在直線(xiàn)：或合題意.