【題目】如圖,在四棱錐E﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,平面ABCD⊥平面ABE,∠AEB=90°,BE=BC,F(xiàn)為CE的中點(diǎn),
(1)求證:AE∥平面BDF;
(2)求證:平面BDF⊥平面ACE;
(3)2AE=EB,在線段AE上找一點(diǎn)P,使得二面角P﹣DB﹣F的余弦值為 , 求AP的長(zhǎng).
【答案】證明:(1)設(shè)AC∩BD=G,連接FG,易知G是AC的中點(diǎn),
∵F是EC中點(diǎn).
∴在△ACE中,F(xiàn)G∥AE,
∵AE平面BFD,F(xiàn)G平面BFD,
∴AE∥平面BFD.…(4分)
(2)∵平面ABCD⊥平面ABE,BC⊥AB,
平面ABCD∩平面ABE=AB,
∴BC⊥平面ABE,又∵AE平面ABE,
∴BC⊥AE,
又∵AE⊥BE,BC∩BE=B,
∴AE⊥平面BCE,即AE⊥BF,
在△BCE中,BE=CB,F(xiàn)為CE的中點(diǎn),
∴BF⊥CE,AE∩CE=E,
∴BF⊥平面ACE,
又BF平面BDF,
∴平面BDF⊥平面ACE.
(3)如圖建立坐標(biāo)系,設(shè)AE=1,
則B(2,0,0),D(0,1,2),C(2,0,2),F(xiàn)(1,0,1),
設(shè)P(0,a,0),=(-2,1,2),=(-1,0,1),=(2,-a,0)
設(shè)⊥面BDF,且=(x1,y1,z1)
則由⊥得﹣2x1+y1+2z1=0,
由⊥得﹣x1+z1=0,
令z1=1得x1=1,y1=0,從而=(1,0,1)
設(shè)⊥面BDP,且=(x2,y2,z2),則
由⊥得﹣2x2+y2+2z2=0,
由⊥得2x2﹣ay2=0,
令y2=2得x2=a,z2=a﹣1,從而=(a,2,a-1)
==
解得a=0或a=1(舍)
即P在E處.
【解析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理即可證明AE∥平面BDF;
(2)根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面BDF⊥平面ACE;
(3)建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法即可得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個(gè)面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩直線
(1)求直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求過交點(diǎn),且在兩坐標(biāo)軸截距相等的直線方程;
(3)若直線與不能構(gòu)成三角形,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:CE∥平面PAB;
(Ⅱ)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列中,,設(shè).
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求滿足的的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩名同學(xué)參加2018年高考,根據(jù)高三年級(jí)一年來的各種大、中、小型數(shù)學(xué)模擬考試總結(jié)出來的數(shù)據(jù)顯示,甲、乙兩人能考140分以上的概率分別為和,甲、乙兩人是否考140分以上相互獨(dú)立,則預(yù)估這兩個(gè)人在2018年高考中恰有一人數(shù)學(xué)考140 分以上的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,,.,分別是,的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)在圖中作出點(diǎn)在底面的正投影,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx),其中常數(shù)ω>0
(1)令ω=1,判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)令ω=2,將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,對(duì)任意a∈R,求y=g(x)在區(qū)間[a,a+10π]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)a,使得在上的最大值為?請(qǐng)證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=ex﹣2x﹣a在R上有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
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