Question

【題目】設(shè)點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作拋物線的兩條切線，其中A、B為切點(diǎn).

（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

（2）當(dāng)的面積為時(shí)，求.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可先求直線切線的斜率，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，再由點(diǎn)縱坐標(biāo)為-2代入直線方程即可求解；

（2）設(shè)，分別表示出直線的方程為，同理得，由兩直線均過(guò)得，可推出直線方程為，聯(lián)立拋物線方程解出關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式表示出三角形面積公式為，即可求解，進(jìn)而求解弦長(zhǎng)；還可設(shè)，將兩點(diǎn)縱坐標(biāo)結(jié)合拋物線代換，表示出直線的方程為，同理直線的方程為，聯(lián)立解得，故，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，推出參數(shù)，后續(xù)求解步驟同前一種解法

（1）由，所以，

因?yàn)?/span>，

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，切線的斜率，

所以切線的方程為，即，

又因?yàn)辄c(diǎn)P為直線與直線的公共點(diǎn)，

聯(lián)立與，可得P點(diǎn)橫坐標(biāo)為.

（2）法一：不妨設(shè)，

由（1）可知，即直線的方程為，

即，同理可得

因?yàn)榍芯�均過(guò)點(diǎn)，所以，

所以為方程的兩組解，

所以直線的方程為，即

聯(lián)立，可得，顯然，

由韋達(dá)定理得，，

所以，

又因?yàn)辄c(diǎn)P到直線的距離，

所以，

解得，所以.

法二：不妨設(shè)，由（1）可知直線的方程為，

同理，直線的方程為，

聯(lián)立解得，

又點(diǎn)P在直線，所以，

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，

由韋達(dá)定理得，

可得，

所以，

又因?yàn)辄c(diǎn)P到直線的距離為，

所以，

解得，所以.