Question

12．向量$\overrightarrow{a}$=（3，-2），$\overrightarrow$=（-x，y-1），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，若x，y為正數(shù)，則$\frac{2}{3x}$+$\frac{4}{y}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． 9
• D． 24

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，化為3x+2y=2，再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-3x-2（y-1）=0，
∴3x+2y=2，
又x，y為正數(shù)，
則$\frac{2}{3x}$+$\frac{4}{y}$=$\frac{1}{2}（3x+2y）$$（\frac{2}{3x}+\frac{4}{y}）$=$5+\frac{2y}{3x}+\frac{6x}{y}$≥9．當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=9{x^2}}\\{3x+2y=2}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{9}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}}\right.$時(shí)等號(hào)成立，
∴$\frac{2}{3x}$+$\frac{4}{y}$的最小值是9．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．