Question

已知圓C的圓心在坐標原點，且與直線l₁：x-y-2

2

=0相切
（Ⅰ）求直線l₂：4x-3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長．
（Ⅱ）過點G（1，3）作兩條與圓C相切的直線，切點分別為M，N，求直線MN的方程
（Ⅲ） 若與直線l₁垂直的直線l與圓C交于不同的兩點P，Q，若∠POQ為鈍角，求直線l縱截距的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由直線與圓相交的性質可知，（

AB

2

）²=r²-d²，要求AB，只要求解圓心到直線4x-3y+5=0的距離．即可求直線l₂：4x-3y+5=0被圓C所截得的弦AB的長．
（Ⅱ）求出圓C的方程以及以G（1，3）為圓心，QM為半徑的圓，利用圓系方程求直線MN的方程．
（Ⅲ）設直線l的方程為：y=-x+b聯(lián)立x²+y²=4，設直線l與圓的交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用△＞0，以及韋達定理，通過∠POQ為鈍角，求出-2＜b＜2，當

OP

與

OQ

反向共線時，直線y=-x+b過原點，此時b=0，不滿足題意，即可得到結果．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得：圓心（0，0）到直線l₁：x-y-2

2

=0的距離為圓的半徑，
r=

2 2

2

=2，所以圓C的標準方程為：x²+y²=4，…（2分）
所以圓心到直線l₂的距離d=

22-3

=1     …（3分）
∴|AB|=2

22-1

=2

3

…（4分）
（Ⅱ）因為點G（1，3），所以|OG|=

12+32

=

10

，|MG|=

OG2-OM2

=

6

所以以G點為圓心，線段GM長為半徑的圓G方程：（x-1）²+（y-3）²=6 （1）
又圓C方程為：x²+y²=4 （2），由（1）-（2）得直線MN方程：x+3y-4=0 …（8分）
（Ⅲ）設直線l的方程為：y=-x+b聯(lián)立x²+y²=4得：2x²-2bx+b²-4=0，
設直線l與圓的交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得b²＜8，x₁+x₂=b，x1•x2=

b2-4

2

（3）…（10分）
因為∠POQ為鈍角，所以

OP

•

OQ

＜0，
即滿足x₁x₂+y₁y₂＜0，且

OP

與

OQ

不是反向共線，
又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b所以x1x2+y1y2=2x1x2-b(x1+x2)+b2＜0 （4）
由（3）（4）得b²＜4，滿足△＞0，即-2＜b＜2，…（12分）
當

OP

與

OQ

反向共線時，直線y=-x+b過原點，此時b=0，不滿足題意，
故直線l縱截距的取值范圍是-2＜b＜2，且b≠0    …（14分）

點評：本題主要考查了直線與圓相交性質的應用，點到直線的距離公式的應用，考查分析問題解決問題的能力．