Question

已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且

OA

+2

OB

+3

OC

=

0

，則△AOC與△ABC的面積之比是

 

．

Answer 1

分析：過(guò)A點(diǎn)作OB的平行線，在平行線上取線段AD，使得AD=2OB，延長(zhǎng)OB至E使得BE=OB，根據(jù)所給的條件得到三角形AOD的面積是三角形AOC面積的三倍，根據(jù)線段之間的長(zhǎng)度之比得到三角形的面積之比．

解答：解：過(guò)A點(diǎn)作OB的平行線，在平行線上取線段AD，使得AD=2OB，延長(zhǎng)OB至E使得BE=OB，
因?yàn)锳D平行且等于OE，四邊形ADEO為平行四邊形，

OA

+2

OB

+3

OC

=

0

對(duì)角線

OD

=

OA

+

AD

=

OA

+

OE

=

OA

+2

OB

=-3

OC

，
所以三角形AOD的面積是三角形AOC面積的三倍，
設(shè)三角形AOC面積為X，則三角形AOD的面積為3X，
因?yàn)锳D平行于OB，且AD=2OB，設(shè)CD與AB相交于F點(diǎn)，則有AF：FB=DF：FO=AD：OB=2：1，
所以三角形AOF的面積為X，三角形ACF的面積為2X，因?yàn)锳F：FB=2：1，
所以三角形CFB面積為X，故三角形ABC總面積為3X，
故兩三角形面積之比為1：3
故答案為：1：3

點(diǎn)評(píng)：本題考查用向量來(lái)解決幾何問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于所給的向量之間的關(guān)系的等式的理解，根據(jù)向量之間的關(guān)系得到線段之間的關(guān)系進(jìn)而得到面積之間的關(guān)系．