Question

【題目】已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)，分別是軸，軸上的動點(diǎn)，且滿足.若點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，直線，與直線分別交于點(diǎn)，，試判斷以線段為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn)？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）經(jīng)過

【解析】

（Ⅰ）由橢圓的方程，得到右焦點(diǎn) 的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，求得和，代入即可求解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）解法一：設(shè)直線的方程為，得到，，聯(lián)立方程組，求得，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可得到證明；

解法二：①當(dāng)時，利用向量的數(shù)量積得到；②當(dāng)不垂直軸時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，求解，進(jìn)而證得，即可得到證明.

（Ⅰ）∵橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴.∵，

∴由，得.

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，有，

，代入，得.

即點(diǎn)的軌跡的方程為.

（Ⅱ）解法一：設(shè)直線的方程為，，，

則：，：.

由得，同理得.

∴，，則.

由得，∴.

則.

因此，以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn).

解法二：①當(dāng)時，，，則：，：.

由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，

由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.

∴.

②當(dāng)不垂直軸時，設(shè)直線的方程為，，，

同解法一，得.

由，得，∴.

則.

因此，以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn).