Question

【題目】已知點是橢圓的右焦點，點，分別是軸，軸上的動點，且滿足.若點滿足（為坐標原點）．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)過點任作一直線與點的軌跡交于，兩點，直線，與直線分別交于點，，試判斷以線段為直徑的圓是否經(jīng)過點？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）經(jīng)過

【解析】

（Ⅰ）由橢圓的方程，得到右焦點 的坐標，根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，求得和，代入即可求解拋物線的標準方程；

（Ⅱ）解法一：設(shè)直線的方程為，得到，，聯(lián)立方程組，求得，利用向量的數(shù)量積的運算，即可得到證明；

解法二：①當時，利用向量的數(shù)量積得到；②當不垂直軸時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，求解，進而證得，即可得到證明.

（Ⅰ）∵橢圓右焦點的坐標為，

∴.∵，

∴由，得.

設(shè)點的坐標為，由，有，

，代入，得.

即點的軌跡的方程為.

（Ⅱ）解法一：設(shè)直線的方程為，，，

則：，：.

由得，同理得.

∴，，則.

由得，∴.

則.

因此，以線段為直徑的圓經(jīng)過點.

解法二：①當時，，，則：，：.

由，得點的坐標為，則，

由，得點的坐標為，則.

∴.

②當不垂直軸時，設(shè)直線的方程為，，，

同解法一，得.

由，得，∴.

則.

因此，以線段為直徑的圓經(jīng)過點.