Question

已知f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，當x∈（0，+∞）時，f（x）=ax+2lnx（a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在負實數(shù)，當x∈[-e，0）時，使得f（x）的最小值是4，若存在，求a的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）設x∈（-∞，0），利用函數(shù)為奇函數(shù)，得到f（-x）=-f（x），將f（-x）的值代入，求出f（x）在x∈（-∞，0）的解析式．
（2）假設存在實數(shù)a＜0滿足題意，對f（x）進行求導，根據(jù)函數(shù)的臨界點和區(qū)間對a進行分類，再利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，求出x∈[-e，0）的最小值讓其等于4，求出a值．

解答： 解：（1）設x∈（-∞，0），則-x∈（0，∞）
∴f（-x）=-ax+2ln（-x）．
∵f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=ax-2ln（-x）．
故f（x）=

ax+2lnx，     x＞0 ax-2ln(-x)， x＜0

，
（2）假設存在實數(shù)a＜0滿足題意，
∵f（x）=ax-2ln（-x），x∈[-e，0），
∴f′(x)=a-

2

x

=

ax-2

x

，由f′（x）=0得，x=

2

a

＜0，
①當

2

a

＞-e時，即a＜-

2

e

，當x∈[-e，

2

a

）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當x∈（

2

a

，0）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
則f（x）的最小值是 f（

2

a

）=1-ln（-

2

a

）=4，解得a=-2e，
②當

2

a

≤-e時，即-

2

e

≤a＜0，
∵x∈[-e，0），則f′（x）≥0．
∴函數(shù)f（x）=ax-2ln（-x）是[-e，0）上的增函數(shù)．
∴f（x）_min=f（-e）=-ae-2=4，解得a=-

6

e

＜-

2

e

，舍去，
綜上所知，存在實數(shù)a=-2e滿足題意．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性，利用導數(shù)研究函數(shù)得最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的最小值，解決是否存在這種探索性的題時，一般是假設存在然后根據(jù)條件去求．