Question

設f（x）是定義在R⁺上的增函數(shù)，并且對任意的x＞0，y＞0，f（xy）=f（x）+f（y）總成立．
（1）求證：x＞1時，f（x）＞0；
（2）如果f（3）=1，解不等式f（x）＞f（x-1）+2．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）令x=y=1，f（1）=0，f（x）是定義在R+上的增函數(shù)，x＞1時，f（x）＞0．
（2）令x=y=3，求得f（9）=2，根據(jù)已知條件得到不等式組，解得即可．

解答： （1）證明：令x=y=1，
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
又f（x）是定義在R+上的增函數(shù)，x＞1時，f（x）＞0．
（2）∵f（3）=1，令x=y=3，
∴f（3）+f（3）=f（9）=2，
∵f（x）＞f（x-1）+2
∴f（x）＞f（x-1）+f（9），
∴f（x）＞f[9（x-1）]
∵f（x）是定義在R+上的增函數(shù)，
∴

x＞0 9(x-1)＞0 x＞9(x-1)

，
解得，1＜x＜

9

8

，
所以解集為{x|1＜x＜

9

8

}．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及應用，注意不要忘記函數(shù)的定義域，同時考查解決抽象函數(shù)問題常用的方法：賦值法，注意條件的反復運用和靈活運用．