Question

如圖，在四棱維S-ABCD中，底面ABCD是正方形．SA⊥底面ABCD，SA=AD=1．點M是SD的中點．AN⊥SC，交SC于點N．
（1）求證：SC⊥平面AMN；
（2）求三棱維D-ACM的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（1）先證AM⊥面SDC，所以AM⊥SC，再用線面垂直的判定；（2）V_D-ACM=V_M-DAC等積轉化．

解答： 證明：（1）因為SA⊥底面ABCD，所以SA⊥CD…（1分）
又AD⊥CD，所以CD⊥面SAD…（2分）
因為CD⊥AM…①…（3分）
又SA=AD=1，且M是SD的中點，所以AM⊥SD…②
由①②得AM⊥面SDC，所以AM⊥SC…（4分）
又AN⊥SC，所以SC⊥面AMN…（5分）
所以平面SAC⊥平面AMN…（6分）
（2）V_D-ACM=V_M-DAC…（9分）
所以VS-ACM=

1

3

S△ACD•

1

2

SA=

1

3

•

1

2

•

1

2

=

1

12

…（12分）

點評：本小題主要考查空間線面關系、三棱錐S-ACM的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．