Question

【題目】設(shè)是圓上的任意一點(diǎn)，是過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)，是直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且滿(mǎn)足當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)．

求曲線(xiàn)的方程；

已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，設(shè)，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，引起點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，我們可以由，得到點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式，并由點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足圓的方程得到點(diǎn)坐標(biāo)所滿(mǎn)足的方程；

（2）設(shè)，，則，聯(lián)立，得韋達(dá)定理，利用直線(xiàn)的斜率，求直線(xiàn)的方程，即可直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出面積的最大值．

解：設(shè)，，，在直線(xiàn)上，

，

點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，

將式代入式即得曲線(xiàn)的方程為．

證明：設(shè)，，則，

聯(lián)立，得，

，．

直線(xiàn)的斜率，

直線(xiàn)的方程為

令，得，

直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)

面積，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，

面積的最大值為．