如圖，一個(gè)底面半徑為
3
的圓柱被與其底面所成角為30°的平面所截，其截面是一個(gè)橢圓C．
（Ⅰ）求該橢圓C的長軸長；
（Ⅱ）以該橢圓C的中心為原點(diǎn)，長軸所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求橢圓C的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅲ）設(shè)（Ⅱ）中的兩切點(diǎn)分別為A，B，求點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值和最小值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：
分析：（Ⅰ）根據(jù)圓柱的直徑算出橢圓的短軸長，再由二面角的平面角等于30°，利用三角函數(shù)定義可算出橢圓的長軸．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓C的方程為：
x2
4
+
y2
3
=1．當(dāng)兩切線l1，l2的斜率有一條不存在（另一條斜率必為0）時(shí)，點(diǎn)P（±2，±
3
）（四個(gè)）；當(dāng)兩切線l1，l2的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)l1：y=kx+m，l2：y=-
1
k
x+n，設(shè)P（x0，y0），則m=y0-kx0，n=y0+
1
k
x0，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅲ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0），則x02+y02=7，設(shè)兩切點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)過A（x1，y1）的切線y-y1=k1（x-x1），代入橢圓方程得：（3+4k12）x2+8k1（y1-k1 x1）x+4（y1-k1x1） 2 -12=0，由此能求出直線AB的方程為
x0x
4
+
y0y
3
=1，從而能求出點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值和最小值．
解答： 解：（Ⅰ）：∵圓柱的底面半徑為
3
，∴橢圓的短半軸b=
3
，
又∵橢圓所在平面與圓柱底面所成角為30°
∴cos30°=
3
a
=
3
2
，解得a=2，
∴該橢圓C的長軸長2a=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓C的方程為：
x2
4
+
y2
3
=1．
①當(dāng)兩切線l1，l2的斜率有一條不存在（另一條斜率必為0）時(shí)，點(diǎn)P（±2，±
3
）（四個(gè)）；
②當(dāng)兩切線l1，l2的斜率均存在且不為0時(shí)，
設(shè)l1：y=kx+m，l2：y=-
1
k
x+n，設(shè)P（x0，y0），
則m=y0-kx0，n=y0+
1
k
x0，
聯(lián)立
y=kx+m
3x2+4y2=12
，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，
∵l1：y=kx+m與橢圓相切，∴△=0，∴m2=4k2+3，同理n2=
4
k2
+3，
∴
(y0-kx0)2=4k2+3
(y0+
1
k
x02)2=
4
k2
+3
，即
y02-2kx0y0+k2x02=4k2+3
y02+
2
k
x0y0+
1
k2
x02=
4
k2
+3
，
整理，得
y02-2kx0y0+k2x02=4k2+3
k2y02+2kx0y0+x02=4+3k2
，
兩式相加得(k2+1)y02+(k2+1)x02=7(k2+1)，即x02+y02=7，
點(diǎn)P（±2，±
3
）也在此曲線上，
綜上，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=7．
（Ⅲ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0），則x02+y02=7，
下面先證明直線AB的方程為
x0x
4
+
y0y
3
=1，
設(shè)兩切點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)過A（x1，y1）的切線：y-y1=k1（x-x1），
代入橢圓方程得：
（3+4k12）x2+8k1（y1-k1 x1）x+4（y1-k1x1） 2 -12=0，
由△=0得，(y1-k1x1)2-3-4k12=0，
又
x12
4
+
y12
3
=1，y12=3-
3
4
x12，x12=4-
4
3
y12，
代入得：（k1y1+
3
4
x1）2=0，∴k1=-
3x1
4y1
，
∴過A（x1，y1）的切線l1：
x1x
4
+
y1y
3
=1，
當(dāng)過A（x1，y1）的切線斜率不存在時(shí)仍然符合上式，
同理過B（x2，y2）的切線l2：
x2x
4
+
y2y
3
=1，
∵l1，l2均過P（x0，y0），∴
x1x0
4
+
y1y0
3
=1，
x2x0
4
+
y2y0
3
=1，
由此可得直線AB的方程為
x0x
4
+
y0y
3
=1．
∴P點(diǎn)到直線AB的距離d=
|
x02
4
+
y02
3
-1|
x02
16
+
y02
9
=
|
x02
4
+
7-x02
3
-1|
x02
16
+
7-x02
9
=
16-x02
7
，
∴x02 ∈[0，7]，∴點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值和最小值分別為
4
7
7
，
3
7
7
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓長軸長的求法，考查交點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查點(diǎn)到直線的距離的最值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)函數(shù)f（x）定義在（-L，L）上，證明：f（x）+f（-x）是偶函數(shù)，f（x）-f（-x）是奇函數(shù)．

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某高校從參加今年自主招生考試的學(xué)生中，隨機(jī)抽取容量為50的學(xué)生成績樣本，得頻率分布表如下：
組號(hào) 分組 頻數(shù) 頻率
第一組 [230，235） 8 0.16
第二組 [235，240） ① 0.24
第三組 [240，245） 15 ②
第四組 [245，250） 10 0.20
第五組 [250，255） 5 0.10
合計(jì) 50 1.00
（l）寫出表中①②位置的數(shù)據(jù)；
（2）為了選拔出更優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在第三組、第四組、第五組中用分層抽樣法，抽取6名學(xué)生進(jìn)行第二輪考核，分別求第三、第四、第五各組參加考核的人數(shù)；
（3）在（2）的前提下，高校決定在這6名學(xué)生中錄取2名學(xué)生，其中有ξ名第三組的，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

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已知F1，F(xiàn)2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)F2關(guān)于直線y=
b
a
x的對(duì)稱點(diǎn)M也在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為
 
．

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已知△ABC是邊長為3的等邊三角形，點(diǎn)D、E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿足
AD
DB
=
CE
EA
=
1
2
．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，并使得平面A1DE⊥平面BCED．
（1）求證：A1D⊥EC；
（2）設(shè)P為線段BC上的一點(diǎn)，試求直線PA1與平面A1BD所成角的正切的最大值．

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已知數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+1=2-
1
an
（n=1，2，3，4…），求證：{
1
an-1
}為等差數(shù)列．

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在△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且10sin2
B+C
2
-5sin（2014π-A）=12，
π
4
＜A＜
π
2
．
（1）求cosA的值；
（2）若a=8，b=5，求向量
BA
在
BC
方向上的射影．

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已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），（ω＞0，A＞0，φ∈（0，
π
2
））的部分圖象如圖所示，其中點(diǎn)P是圖象的一個(gè)最高點(diǎn)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知α∈（π，
3π
2
），且f（
α
2
-
5π
12
）=
6
5
，求f（
α
2
）．

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若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|2x-2|-|2x-1-2|＜3的解集為A，則A為
 
．

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